انتقل إلى المحتوى

الاختبار القصير — الدرس 5

التعليمات

المدّة: 15 دقيقة  ·  العلامة: 10 نقاط  ·  الأدوات: بدون آلة حاسبة

أجب عن البنود الخمسة، ثمّ افتح المفتاح في آخر الصفحة للتصحيح الذاتي.

تنبيه: يُقيَّم في هذا الاختبار تحرير البرهان بقدر ما يُقيَّم الحساب. لا تُهمل الخلاصة اللفظية.

البند 1  ربط 2 ن

رتّب خطوات البرهان بالتعريف:

  أ) إظهار العتبة بدلالة المعطى الكيفي  ·  ب) الخلاصة اللفظية  ·  ج) «ليكن \(r > 0\)»

  د) تخمين النهاية  ·  هـ) تبسيط \(f(x)-\ell\) وحلّ المتراجحة  ·  و) ترجمة الشرط إلى متراجحة

البند 2  مسألة مركّبة 2 ن

\(f\) معرّفة على \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\) بـ \(f(x) = \dfrac{4x-5}{2x+3}\).

بيّن أنّ \(f(x)-2 = \dfrac{-11}{2x+3}\).

البند 3  حلّ متراجحة 2 ن

نُبقي دالة البند 2. أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(1{,}9 < f(x) < 2{,}1\).

البند 4  برهان بالتعريف 2 ن

\(g\) معرّفة على \(]2\,;+\infty[\) بـ \(g(x) = \dfrac{1}{x-2}\).

برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to +\infty} g(x) = 0\).

البند 5  تعميم 2 ن

\(h\) معرّفة على \([1\,;+\infty[\) بـ \(h(x) = (x-1)^{2}+2\)، و \(r\) عدد حقيقي حيث \(0 < r < 1\).

في أيّ مجال يجب اختيار \(x\) حتى يكون \(h(x) \in [3-r\,;3+r]\) ؟

مفتاح التصحيح — لا تفتحه قبل إنهاء الإجابة

البند 1 (2 ن) — الترتيب:  د ← ج ← و ← هـ ← أ ← ب

الرتبة الخطوة
1 (د) تخمين النهاية
2 (ج) المعطى الكيفي «ليكن \(r > 0\)»
3 (و) ترجمة الشرط
4 (هـ) التبسيط وحلّ المتراجحة
5 (أ) إظهار العتبة
6 (ب) الخلاصة

التوزيع: 2 ن للترتيب الصحيح كاملا  ·  1 ن إذا كان موضع واحد فقط خاطئا  ·  \(0\) فيما عدا ذلك.

الخطأ الأكثر تكرارا: وضع (ب) قبل (أ) — والخلاصة لا تُكتب قبل وجود العتبة التي تستند إليها.

البند 2 (2 ن) — نوحّد المقامات:

\[f(x)-2 = \frac{4x-5}{2x+3} - 2 = \frac{4x-5-2(2x+3)}{2x+3} = \frac{4x-5-4x-6}{2x+3} = \frac{-11}{2x+3}\]

التوزيع: 1 ن لكتابة \(2 = \dfrac{2(2x+3)}{2x+3}\) (توحيد المقامات)  ·  1 ن للنشر والاختزال الصحيحين.

الخطأ الأكثر كلفة: نسيان القوسين في \(-2(2x+3)\) فيُكتب \(4x-5-4x+6 = 1\) بدل \(-11\). يُفقد نصف العلامة.

البند 3 (2 ن) — المجال \(]1{,}9\,;2{,}1[\) هو \(]2-0{,}1\,;2+0{,}1[\)، إذن الشرط يكافئ \(\lvert f(x)-2\rvert < 0{,}1\)، أي:

\[\frac{11}{\lvert 2x+3\rvert} < 0{,}1\]

نبحث عن قيم \(x\) كبيرة، فنفترض \(x > 0\) ومنه \(2x+3 > 0\)  (0,5 ن لهذا التصريح):

\[\frac{11}{2x+3} < 0{,}1 \iff 2x+3 > 110 \iff 2x > 107 \iff x > 53{,}5\]

الخلاصة: \(A = 53{,}5\)  (وتصلح كذلك \(A = 54\)).  (1,5 ن)

تحقّق: \(f(54) = \dfrac{211}{111} \approx 1{,}901\) داخل المجال ✓  بينما \(f(50) \approx 1{,}893\) خارجه ✓

تُقبل كلّ قيمة أكبر من \(53{,}5\)، لأنّ التعريف يتطلّب وجود عتبة لا أصغرها.

الخطآن الأكثر كلفة في هذا البند

1. إسقاط القيمة المطلقة دون تبرير، أي الاكتفاء بـ \(\dfrac{-11}{2x+3} < 0{,}1\) — وهي متراجحة محقّقة تلقائيا فلا تعطي شيئا.

2. القلب أو الضرب في \((2x+3)\) دون التصريح بموجبيته. تُخصم نصف نقطة في كلّ حالة.

البند 4 (2 ن) — ليكن \(r > 0\) عددا حقيقيا كيفيا.  (0,5 ن)

المطلوب \(\lvert g(x)-0\rvert < r\). ونعمل على \(]2\,;+\infty[\) حيث \(x-2 > 0\)، إذن \(g(x) > 0\) وتسقط القيمة المطلقة:

\[\frac{1}{x-2} < r\]

الطرفان موجبان تماما، فبالقلب:

\[x-2 > \frac{1}{r} \iff x > 2+\frac{1}{r}\]

نضع \(A = 2+\dfrac{1}{r}\).  (1 ن)

الخلاصة: كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(0\) يشمل كلّ قيم \(g(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x-2} = 0\).  (0,5 ن)

لا تُمنح نقطة الخلاصة لمن توقّف عند إيجاد \(A\).

ولا تُمنح نقطة الحساب كاملة لمن أعطى \(A\) عدديا (مثل \(A = 102\) من أجل \(r = 0{,}01\)): عتبة واحدة تحقّق ولا تبرهن.

البند 5 (2 ن) — نترجم الشرط:

\[3-r \leq (x-1)^{2}+2 \leq 3+r \iff 1-r \leq (x-1)^{2} \leq 1+r\]

الشرط \(0 < r < 1\) يضمن \(1-r > 0\)، فالطرفان موجبان والتجذير مشروع. وعلى \([1\,;+\infty[\) لدينا \(x-1 \geq 0\)، فلا حاجة إلى فصل الحالات:  (0,5 ن لهذا التصريح)

\[\sqrt{1-r} \leq x-1 \leq \sqrt{1+r}\]

الخلاصة:  \(x \in \left[1+\sqrt{1-r}\,;\,1+\sqrt{1+r}\right]\).  (1,5 ن)

تحقّق: من أجل \(r = 0{,}1\) نجد تقريبا \([1{,}9487\,;2{,}0488]\)، وهو مجال يحيط بـ \(2\) ✓

الخطأ الشائع: كتابة \(\lvert x-1\rvert\) ثمّ إعطاء مجال متناظر حول \(2\). المجال الصحيح غير متناظر، والتعريف لا يشترط التناظر.

سلّم التقدير وما تفعله بعد التصحيح
العلامة التقدير ما ينبغي فعله
\(8\) – \(10\) ممتاز أنت جاهز للمراجعة التراكمية والاختبار النهائي
\(6\) – \(7{,}5\) جيد راجع التمارين 21 و 25 (تحرير البرهان) وشبكة التقييم في الدرس
\(4\) – \(5{,}5\) مقبول أعد إنجاز التطبيقات الثلاثة (التمارين 9 و 11 و 12 و 13 و 14) بغير نظر إلى الحلّ
\(< 4\) يستوجب دعما أعد قراءة المنهجية المرجعية، ثمّ ابدأ بتمارين المجموعة أ

إن فقدت نقاط الخلاصة في البندين 4 و 5

فالمشكل ليس في الحساب بل في التحرير، وهو أيسر ما يُصلَح: أضف في نهاية كلّ برهان جملة واحدة تعيد نصّ التعريف بالأعداد المحسوبة. راجع شبكة التقييم في §7 من الدرس.