انتقل إلى المحتوى

الاختبار القصير — الدرس 2

التعليمات

المدّة: 10 دقائق  ·  العلامة: 10 نقاط  ·  الأدوات: بدون آلة حاسبة

أجب عن البنود الخمسة، ثمّ افتح المفتاح في آخر الصفحة للتصحيح الذاتي.

البند 1  ملء فراغ 2 ن

أكمل نصّ التعريف:

«القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(-\infty\) عند \(+\infty\) يعني أنّ ⋯ مجال من الشكل ⋯ (مع \(B\) عدد حقيقي) يشمل ⋯ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) ⋯ .»

البند 2  حساب مباشر 2 ن

عيّن: \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{2}\)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{3}\).

البند 3  حلّ متراجحة 2 ن

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(\sqrt{x} > 50\).

البند 4  صح / خطأ 2 ن

أجب بصحيح أو خطأ مع التعليل:

«كلّ دالة غير محدودة من الأعلى نهايتها \(+\infty\) عند \(+\infty\).»

البند 5  برهان بالتعريف 2 ن

برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2} = +\infty\).

مفتاح التصحيح — لا تفتحه قبل إنهاء الإجابة

البند 1 (2 ن) — «... يعني أنّ كلّ مجال من الشكل \(]-\infty\,;B[\) (مع \(B\) عدد حقيقي) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) كبير بالقدر الكافي.»

التوزيع: نصف نقطة لكلّ فراغ صحيح. الخطأ الأكثر كلفة هو كتابة \(]B\,;+\infty[\) بدل \(]-\infty\,;B[\): تُخصم نقطة كاملة، لأنّه يقلب معنى التعريف.

البند 2 (2 ن) — \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{2} = +\infty\)  (1 ن)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{3} = -\infty\)  (1 ن).

للتذكير: الأسّ الزوجي يُلغي إشارة \(x\)، والأسّ الفردي يرثها.

البند 3 (2 ن) — الطرفان موجبان والدالة \(t \mapsto t^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\)، إذن:

\[\sqrt{x} > 50 \iff x > 50^{2} = 2500\]

إذن \(A = 2500\) يفي بالغرض.

تُقبل كلّ قيمة \(A \geq 2500\)، لأنّ التعريف يتطلّب وجود عتبة لا أصغرها.

البند 4 (2 ن) — خطأ  (1 ن للحكم، 1 ن للتعليل).

التعليل المقبول: يجب أن يتضمّن مثالا مضادا أو الفرق الدقيق بين العبارتين:

  • المثال المضاد: \(f(x) = x\sin^{2}x\)، غير محدودة من الأعلى لأنّ \(f\left(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right) = \dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)، ومع ذلك \(f(k\pi) = 0\) مهما كبر \(k\)، فلا تدخل كلّ القيم إلى \(]10\,;+\infty[\) مثلا.
  • أو: «غير محدودة» تعني تجاوز كلّ عتبة من أجل بعض القيم، والنهاية \(+\infty\) تقتضي تجاوزها من أجل كلّ القيم ابتداء من عتبة.

لا تُمنح نقطة التعليل لمجرّد كتابة «خطأ» دون مثال مضاد أو تمييز صريح.

البند 5 (2 ن) — لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية؛ نفترض \(M > 0\) (وإلّا فالنتيجة بديهية لأنّ \(x^{2} \geq 0\)).

من أجل \(x > 0\)، والدالة \(x \mapsto x^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\):

\[x^{2} > M \iff x > \sqrt{M}\]

نضع \(A = \sqrt{M}\).  (1,5 ن)

الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(x^{2}\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2} = +\infty\).  (0,5 ن)

شرط منح العلامة كاملة

لا تُمنح النقطة الأخيرة في غياب الخلاصة اللفظية المطابقة لنصّ التعريف. البرهان الذي يتوقّف عند إيجاد \(A\) ناقص.

وتُخصم نصف نقطة على الخلط بين العتبتين: \(M\) على القيم \(f(x)\)، و \(A\) على المتغيّر \(x\).

سلّم التقدير وما تفعله بعد التصحيح
العلامة التقدير ما ينبغي فعله
\(8\) – \(10\) ممتاز انتقل إلى الدرس 3
\(6\) – \(7{,}5\) جيد راجع تمارين المجموعة ج، خاصّة 20 و 23
\(4\) – \(5{,}5\) مقبول أعد قراءة جدول التمييز بين التعريفين وأنجز تمارين المجموعتين أ و ب
\(< 4\) يستوجب دعما أعد الدرس من البداية مع الأمثلة المحلولة