انتقل إلى المحتوى

الدرس 5 — تطبيقات: إثبات النهايات باستعمال التعريف

أهداف الدرس

في نهاية هذا الدرس تكون قادرا على أن:

  • تطبّق منهجية موحّدة للبرهان بالتعريف تصلح للحالات الأربع (نهاية منتهية أو لانهائية، عند \(\pm\infty\) أو عند عدد حقيقي)؛
  • تنجز التطبيقات الثلاثة المرجعية إنجازا كاملا؛
  • تنتقل من دقّة عددية معطاة إلى تعميم بدلالة \(r\) أو \(M\)، وتدرك أنّ هذا الانتقال هو ما يحوّل التحقّق إلى برهان؛
  • تحرّر البرهان تحريرا رياضيا سليما ينتهي بالخلاصة اللفظية.

1. لماذا درس كامل للمنهجية ؟

في الدروس الأربعة السابقة تعلّمت أربعة تعاريف، وبرهنت بها على نتائج متفرّقة. وقد لاحظت — خاصّة في التمرين 30 من الدرس 4 — أنّ البراهين كلّها كانت تسير على الخطوات نفسها، ولم يكن يتغيّر فيها إلّا نوع المتراجحة.

هذا الدرس يصرّح بتلك المنهجية ويجعلها أداة واحدة، ثمّ يطبّقها على التطبيقات المرجعية الثلاثة.

ما الجديد وما ليس بجديد
ليس جديدا التعاريف — وهي الأربعة نفسها ولم يُضف إليها شيء
الجديد تحرير البرهان: ترتيب الخطوات، والأدوات الجبرية التي تسبقها، وشبكة تقييمه

فالدرس هذا ليس درس معارف بل درس إتقان. وهو ما يُقوَّم فعليا في الامتحان.

2. المنهجية المرجعية

هذه الخطوات الستّ تُعتمد في كلّ برهان من براهين هذه الوحدة:

الخطوات الستّ

الخطوة عند \(\pm\infty\) عند عدد حقيقي \(a\)
1. التخمين جدول قيم أو تبسيط جبري جدول قيم أو حساب \(f(a)\)
2. المعطى الكيفي «ليكن \(r > 0\)» (نهاية منتهية) أو «لتكن \(M\)» (نهاية لانهائية) كذلك
3. ترجمة الشرط \(\lvert f(x)-\ell\rvert < r\)  أو  \(f(x) > M\) كذلك
4. التبسيط ثمّ الحلّ بسّط \(f(x)-\ell\)، ثمّ حلّ المتراجحة كذلك
5. إظهار العتبة \(A\) بدلالة \(r\) أو \(M\) \(\alpha\) بدلالة \(r\) أو \(M\)
6. الخلاصة اللفظية مطابقة لنصّ التعريف كذلك

الخطوتان اللتان تُهملان أكثر من غيرهما

الخطوة 2 — البرهان الذي يبدأ بعدد محدّد («لنأخذ \(r = 0{,}01\)») ليس برهانا بل تحقّقا. المعطى يجب أن يكون كيفيا.

الخطوة 6 — البرهان الذي يتوقّف عند إيجاد العتبة يُعدّ ناقصا، مهما كان الحساب صحيحا. الخلاصة هي ما يربط الحساب بنصّ التعريف.

وهاتان الخطوتان تحديدا هما ما تُخصَّص له نقاط في شبكات التصحيح.

الرموز الأربعة — جدول لا يُخلط بعده

الرمز ماذا يقيس يظهر في
\(r > 0\) دقّة مطلوبة على القيم: \(\lvert f(x)-\ell\rvert < r\) النهايات المنتهية
\(M\) عتبة على القيم: \(f(x) > M\) أو \(f(x) < M\) النهايات اللانهائية
\(A\) عتبة على المتغيّر: كلّ \(x > A\) (أو \(x < A\)) النهايات عند \(\pm\infty\)
\(\alpha > 0\) تحكّم في المتغيّر: كلّ \(x\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\) النهايات عند عدد حقيقي

القاعدة في سطر واحد

في كلّ برهان يظهر رمزان لا أكثر: واحد على القيم (\(r\) أو \(M\))، وواحد على المتغيّر (\(A\) أو \(\alpha\)).

والمطلوب دائما هو إظهار الثاني بدلالة الأوّل.

3. التطبيق 1 — إيجاد \(A\) من دقّة عددية

نصّ التطبيق

نعلم أنّ نهاية الدالة \(f : x \mapsto \dfrac{4x-5}{2x+3}\) عند \(+\infty\) هي \(2\).

أوجد عددا حقيقيا \(A\) حيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(1{,}95 < f(x) < 2{,}05\).

الحلّ الكامل

الخطوة 1 — تبسيط الفرق \(f(x)-\ell\). هذه هي الخطوة التي تفتح المسألة كلّها:

\[f(x)-2 = \frac{4x-5}{2x+3} - 2 = \frac{4x-5-2(2x+3)}{2x+3} = \frac{4x-5-4x-6}{2x+3} = \frac{-11}{2x+3}\]

الخطوة 2 — ترجمة الشرط. المجال \(]1{,}95\,;2{,}05[\) هو \(]2-0{,}05\,;2+0{,}05[\)، إذن:

\[1{,}95 < f(x) < 2{,}05 \iff \lvert f(x)-2\rvert < 0{,}05 \iff \frac{11}{\lvert 2x+3\rvert} < 0{,}05\]

الخطوة 3 — التخلّص من القيمة المطلقة. نبحث عن قيم \(x\) كبيرة، فيمكن أن نفترض \(x > 0\)، ومنه \(2x+3 > 0\) و \(\lvert 2x+3\rvert = 2x+3\):

\[\frac{11}{2x+3} < 0{,}05\]

الخطوة 4 — حلّ المتراجحة. الطرفان موجبان تماما، فالقلب مشروع ويقلب الاتّجاه:

\[2x+3 > \frac{11}{0{,}05} = 220 \iff 2x > 217 \iff x > 108{,}5\]

الخلاصة: العدد \(A = 108{,}5\) يفي بالغرض. وتصلح كذلك أيّ قيمة أكبر، مثلا \(A = 109\).

تحقّق عددي: من أجل \(x = 109\) نجد \(f(109) = \dfrac{431}{221} \approx 1{,}95023\)، وهو فعلا داخل المجال ✓  ومن أجل \(x = 100\) نجد \(f(100) \approx 1{,}94581\)، وهو خارجه — فالعتبة \(108{,}5\) ليست تحصيلا حاصلا.

ثلاث نقاط تقنية في هذا التطبيق

1. لماذا نفترض \(x > 0\) ؟ لنتخلّص من القيمة المطلقة. وهذا مشروع لأنّ التعريف لا يهتمّ إلّا بـ \(x\) الكبيرة؛ ولو أعطت المتراجحة عتبة سالبة لوجب أخذ \(A = \max(0\,;\text{العتبة})\).

2. لماذا انقلب الاتّجاه عند القلب ؟ لأنّ الدالة \(t \mapsto \dfrac{1}{t}\) متناقصة تماما على \(]0\,;+\infty[\). والشرط الضروري: موجبية الطرفين.

3. لماذا لا نبحث عن أصغر \(A\) ؟ لأنّ التعريف يتطلّب وجود عتبة لا أصغرها. فكلّ عدد أكبر من \(108{,}5\) جواب صحيح.

4. التطبيق 2 — البرهان بالتعريف عند \(+\infty\)

الجزء 1 — نهاية منتهية

نصّ التطبيق

\(f\) هي الدالة المعرّفة على المجال \(]2\,;+\infty[\) بـ \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\).

أثبت باستعمال التعريف أنّ نهاية \(f\) عند \(+\infty\) هي \(0\).

الحلّ الكامل

1. ليكن \(r > 0\) عددا حقيقيا كيفيا.

2. ترجمة الشرط. المطلوب أن تنتمي \(f(x)\) إلى \(]0-r\,;0+r[\)، أي:

\[\lvert f(x)-0\rvert < r \iff \left\lvert\frac{1}{x-2}\right\rvert < r\]

3. التخلّص من القيمة المطلقة. نعمل على \(]2\,;+\infty[\)، فـ \(x-2 > 0\) ومنه \(f(x) > 0\):

\[\frac{1}{x-2} < r\]

4. حلّ المتراجحة. الطرفان موجبان تماما، فبالقلب:

\[x-2 > \frac{1}{r} \iff x > 2+\frac{1}{r}\]

5. إظهار العتبة. نضع:

\[A = 2+\frac{1}{r}\]

فمن أجل كلّ \(x > A\) تنتمي \(f(x)\) إلى \(]-r\,;r[\).

6. الخلاصة. كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(0\) يشمل كلّ قيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن:

\[\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x-2} = 0\]

قراءة النتيجة: كلّما صغرت الدقّة \(r\) كبرت العتبة \(A\) — وهو ما يوافق الحدس: دقّة أعلى تستلزم الذهاب أبعد.

الجزء 2 — نهاية لانهائية

نصّ التطبيق

\(g\) هي الدالة المعرّفة على المجال \([0\,;+\infty[\) بـ \(g(x) = \sqrt{x}\).

أثبت باستعمال التعريف أنّ نهاية \(g\) عند \(+\infty\) هي \(+\infty\).

الحلّ الكامل

1. لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية؛ نفترض \(M > 0\).

(ولماذا يجوز ذلك ؟ لأنّ \(\sqrt{x} \geq 0\) من أجل كلّ \(x\) من \(D_g\)؛ فإذا كانت \(M \leq 0\) تحقّق الشرط \(\sqrt{x} > M\) تلقائيا من أجل كلّ \(x > 0\)، والحالة بديهية.)

2. ترجمة الشرط. المطلوب أن تنتمي \(g(x)\) إلى \(]M\,;+\infty[\)، أي:

\[\sqrt{x} > M\]

3. حلّ المتراجحة. الطرفان موجبان، والدالة \(t \mapsto t^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\)، إذن:

\[\sqrt{x} > M \iff x > M^{2}\]

4. إظهار العتبة. نضع \(A = M^{2}\): من أجل كلّ \(x > A\) تنتمي \(g(x)\) إلى \(]M\,;+\infty[\).

5. الخلاصة. كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(g(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن:

\[\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x} = +\infty\]

مقارنة الجزأين: البنية واحدة تماما؛ ولم يتغيّر إلّا نوع المتراجحة — قلبٌ في الأوّل، وتربيعٌ في الثاني. وهذا هو معنى «منهجية موحّدة».

5. التطبيق 3 — من الدقّة العددية إلى الدقّة الرمزية

نصّ التطبيق

\(f\) هي الدالة المعرّفة على المجال \([1\,;+\infty[\) بـ \(f(x) = (x-1)^{2}+2\). نريد دراسة سلوك \(f(x)\) لمّا يؤول \(x\) إلى \(2\).

  1. ما التخمين الذي يمكن طرحه بالنسبة إلى نهاية \(f\) عند \(2\) ؟
  2. في أيّ مجال يجب اختيار \(x\) حتى يكون:  (أ) \(f(x) \in [2{,}9\,;3{,}1]\)  ·  (ب) \(f(x) \in [2{,}99\,;3{,}01]\) ؟
  3. \(r\) عدد حقيقي حيث \(0 < r < 1\).  (أ) في أيّ مجال يجب اختيار \(x\) حتى يكون \(f(x) \in [3-r\,;3+r]\) ؟  (ب) ماذا تستنتج، علما أنّه يمكن اختيار \(r\) صغيرا بالقدر الذي نريد ؟
الحلّ الكامل

1. التخمين. الدالة كثير حدود و \(2 \in [1\,;+\infty[\)، فنحسب:

\[f(2) = (2-1)^{2}+2 = 3\]

ونخمّن أنّ \(\lim\limits_{x\to 2} f(x) = 3\).

2. (أ) نترجم الشرط:

\[2{,}9 \leq (x-1)^{2}+2 \leq 3{,}1 \iff 0{,}9 \leq (x-1)^{2} \leq 1{,}1\]

ونعمل على \([1\,;+\infty[\)، حيث \(x-1 \geq 0\)، والدالة \(t \mapsto t^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\) — فلا حاجة إلى فصل الحالات:

\[\sqrt{0{,}9} \leq x-1 \leq \sqrt{1{,}1} \iff x \in \left[1+\sqrt{0{,}9}\,;\,1+\sqrt{1{,}1}\right]\]

أي تقريبا \(x \in [1{,}9487\,;2{,}0488]\).

(ب) بالحساب نفسه:

\[0{,}99 \leq (x-1)^{2} \leq 1{,}01 \iff x \in \left[1+\sqrt{0{,}99}\,;\,1+\sqrt{1{,}01}\right]\]

أي تقريبا \(x \in [1{,}99499\,;2{,}00499]\).

3. (أ) نُعيد الحساب بالرمز \(r\) بدل الأعداد:

\[3-r \leq (x-1)^{2}+2 \leq 3+r \iff 1-r \leq (x-1)^{2} \leq 1+r\]

الشرط \(0 < r < 1\) يضمن \(1-r > 0\)، فالطرفان موجبان والتجذير مشروع:

\[x \in \left[1+\sqrt{1-r}\,;\,1+\sqrt{1+r}\right]\]

تحقّق: من أجل \(r = 0{,}1\) نجد المجال \(\left[1+\sqrt{0{,}9}\,;1+\sqrt{1{,}1}\right]\) — وهو ما وجدناه في السؤال 2 (أ) ✓

(ب) الاستنتاج. لمّا يؤول \(r\) إلى \(0\)، يؤول كلّ من \(\sqrt{1-r}\) و \(\sqrt{1+r}\) إلى \(1\)، فيؤول طرفا المجال معا إلى \(2\): يتقلّص المجال حول \(2\).

ومعنى ذلك بلغة التعريف: أيّا كان المجال المفتوح الشامل للعدد \(3\)، يكفي أن نأخذ \(r\) صغيرا بحيث يُحتوى \([3-r\,;3+r]\) فيه، فنجد مجالا حول \(2\) تنتمي عليه كلّ قيم \(f(x)\) إلى ذلك المجال.

الخلاصة: كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(3\) يشمل كلّ قيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(2\)، إذن:

\[\lim_{x\to 2}\left[(x-1)^{2}+2\right] = 3\]

الفكرة المركزية للتطبيق 3 — وللوحدة كلّها

السؤالان 2 و 3 يطرحان الحساب نفسه؛ الفرق الوحيد أنّ الأوّل يستعمل الأعداد \(0{,}1\) و \(0{,}01\)، والثاني يستعمل الرمز \(r\).

ماذا يُثبت
حساب بدقّة عددية واحدة تحقّق: الشرط ممكن من أجل هذه الدقّة بالذات
حساب بدقّة رمزية \(r\) برهان: الشرط ممكن من أجل كلّ دقّة

وهذا الانتقال — من العدد إلى الرمز — هو بالضبط ما تعنيه الكلمة «كلّ» في نصوص التعاريف الأربعة.

ولاحظ أيضا: المجال الناتج غير متناظر بالنسبة إلى \(2\)، والتعريف لا يشترط التناظر: يكفي وجود مجال مفتوح شامل لـ \(a\) محتوى فيه.

6. الأدوات الجبرية الثلاث

كلّ براهين هذه الوحدة تمرّ بواحدة من ثلاث أدوات، تسبق حلّ المتراجحة:

الأداة 1 — تبسيط الفرق \(f(x)-\ell\)

هي الخطوة الأولى في كلّ برهان على نهاية منتهية. وفي حالة الدوال الناطقة تُنجز بتوحيد المقامات:

\[\frac{4x-5}{2x+3} - 2 = \frac{-11}{2x+3} \qquad \frac{5x+1}{x} - 5 = \frac{1}{x} \qquad \frac{3x+1}{x-1} - 3 = \frac{4}{x-1}\]

وفي كلّ مرّة يصير الفرق من الشكل \(\dfrac{\text{ثابت}}{\text{كثير حدود}}\)، وهو شكل يُحلّ بالقلب مباشرة.

التفكيك العامّ للدالة الناطقة من الدرجة الأولى

من أجل \(c \neq 0\):

\[\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)}\]

التحقّق: بتوحيد المقامات في الطرف الأيمن نجد \(\dfrac{a(cx+d)+bc-ad}{c(cx+d)} = \dfrac{acx+bc}{c(cx+d)} = \dfrac{ax+b}{cx+d}\) ✓

ما يقوله هذا التفكيك: كلّ دالة ناطقة من هذا الشكل هي ثابت \(\dfrac{a}{c}\) زائد حدّ نهايته \(0\) عند \(\pm\infty\). ومن ثمّ:

\[\lim_{x\to \pm\infty}\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c}\]

والمستقيم ذو المعادلة \(y = \dfrac{a}{c}\) مقارب أفقي للمنحني. (التمرين 18.)

الأداة 2 — التصغير (في النهايات اللانهائية)

لإثبات \(f(x) > M\)، لا يلزم دائما حلّ المتراجحة بدقّة: يكفي تصغير \(f(x)\) بدالة أبسط نهايتها \(+\infty\).

مثال: لإثبات \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^{2}+1}{x+1} = +\infty\)، نُثبت أوّلا أنّ \(\dfrac{x^{2}+1}{x+1} > \dfrac{x}{2}\) من أجل \(x > -1\)، ثمّ نكتفي بجعل \(\dfrac{x}{2} > M\). (التمرين 27.)

الأداة 3 — مراعاة مجموعة التعريف

قبل أيّ قلب أو تجذير، اسأل: على أيّ مجموعة أشتغل ؟

الحالة ما يجب التصريح به
\(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\) على \(]2\,;+\infty[\) \(x-2 > 0\)، فالدالة موجبة والقيمة المطلقة تسقط
\(g(x) = \sqrt{x}\) على \([0\,;+\infty[\) لا معنى للسؤال عند \(-\infty\)
\(f(x) = (x-1)^{2}+2\) على \([1\,;+\infty[\) \(x-1 \geq 0\)، فلا حاجة إلى فصل الحالات عند التجذير

7. شبكة تقييم البرهان

هذه هي الشبكة التي يُصحَّح بها كلّ برهان بالتعريف في هذه الوحدة. استعملها لتصحيح إنتاجك بنفسك:

المعيار النقاط ما يُفقد النقطة
المعطى الكيفي («ليكن \(r > 0\)») \(\frac{1}{2}\) البدء بعدد محدّد
ترجمة الشرط إلى متراجحة \(\frac{1}{2}\) القفز مباشرة إلى الحساب
حلّ المتراجحة 1 القلب دون التحقّق من الإشارة
إظهار العتبة بدلالة \(r\) أو \(M\) \(\frac{1}{2}\) إعطاء عتبة عددية
الخلاصة اللفظية \(\frac{1}{2}\) التوقّف عند العتبة

قاعدة التصحيح التي تفاجئ التلاميذ

برهان حسابه صحيح تماما وينتهي عند إيجاد \(A\)، دون خلاصة ودون تعميم، لا يتجاوز نصف العلامة.

والسبب أنّ المطلوب ليس إيجاد عدد، بل إثبات مطابقة الوضع لنصّ التعريف.

8. ما يجب أن تتذكّره

العنصر الصياغة
المنهجية معطى كيفي ← ترجمة ← تبسيط ← حلّ ← عتبة بدلالة المعطى ← خلاصة
الرموز \(r\) و \(M\) على القيم  ·  \(A\) و \(\alpha\) على المتغيّر
الأداة الأولى ابدأ دائما بتبسيط \(f(x)-\ell\)
القلب مشروط بموجبية الطرفين — صرّح بها
العتبة تُطلب موجودة لا صغرى؛ وكلّ قيمة أكبر منها صالحة
نتائج مرجعية تطبيق 1: \(A = 108{,}5\)  ·  تطبيق 2-1: \(A = 2+\frac{1}{r}\)  ·  تطبيق 2-2: \(A = M^{2}\)  ·  تطبيق 3: \(\left[1+\sqrt{1-r}\,;1+\sqrt{1+r}\right]\)
القاعدة الذهبية العدد يُحقّق، والرمز يُبرهن