انتقل إلى المحتوى

الاختبار القصير — الدرس 3

التعليمات

المدّة: 10 دقائق  ·  العلامة: 10 نقاط  ·  الأدوات: بدون آلة حاسبة

أجب عن البنود الخمسة، ثمّ افتح المفتاح في آخر الصفحة للتصحيح الذاتي.

البند 1  ملء فراغ 2 ن

أكمل نصّ التعريف:

«\(a\) و \(\ell\) عددان حقيقيان. القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(\ell\) عند \(a\) يعني أنّ ⋯ مجال ⋯ شامل للعدد \(\ell\) يشمل ⋯ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) ⋯ .»

البند 2  حساب مباشر 2 ن

عيّن: \(\lim\limits_{x\to 2}(x^{2}-3x)\)  و  \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\).

البند 3  مسألة مركّبة 2 ن

\(f\) معرّفة على \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) بـ \(f(x) = \dfrac{\lvert x-1\rvert}{x-1}\).

ادرس سلوك \(f\) عند \(1\) واستنتج.

البند 4  صح / خطأ 2 ن

أجب بصحيح أو خطأ مع التعليل:

«إذا كانت \(f\) غير معرّفة عند \(a\) فليست لها نهاية عند \(a\).»

البند 5  حلّ متراجحة 2 ن

عيّن مجالا حول \(1\) يضمن \(2x+3 \in \,]4{,}8\,;5{,}2[\).

مفتاح التصحيح — لا تفتحه قبل إنهاء الإجابة

البند 1 (2 ن) — «... يعني أنّ كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\).»

التوزيع: نصف نقطة لكلّ فراغ صحيح. واستبدال «كلّ» بـ «يوجد» أو «بعض» في أيّ من الموضعين يُفقد النصّ معناه: تُخصم نقطة كاملة.

البند 2 (2 ن) — \(\lim\limits_{x\to 2}(x^{2}-3x) = 4-6 = -2\)  (1 ن)  و  \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1\)  (1 ن).

التبرير المنتظر في الأولى: كثير حدود و \(2 \in \mathbb{R}\)، فنطبّق ملاحظة الدوال المرجعية.

في الثانية: نهاية مرجعية واردة في الدرس؛ ولاحظ أنّ الدالة غير معرّفة عند \(0\)، وهذا لا يمنع وجود النهاية.

البند 3 (2 ن) — نفصل الحالات حسب إشارة \(x-1\):

  • من أجل \(x > 1\):  \(f(x) = 1\)، إذن \(\lim\limits_{x\to 1^{+}} f(x) = 1\)  (0,5 ن)
  • من أجل \(x < 1\):  \(f(x) = -1\)، إذن \(\lim\limits_{x\to 1^{-}} f(x) = -1\)  (0,5 ن)

الاستنتاج: النهايتان الجانبيتان مختلفتان، إذن ليس للدالة \(f\) نهاية عند \(1\).  (1 ن)

لا تُمنح نقطة الاستنتاج لمن اكتفى بإحدى النهايتين الجانبيتين أو كتب «النهاية تساوي \(1\) و \(-1\)».

البند 4 (2 ن) — خطأ  (1 ن للحكم، 1 ن للتعليل).

التعليل المقبول: يجب أن يتضمّن مثالا مضادا:

  • \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\) معرّفة على \(\mathbb{R}^{*}\)، فـ \(0 \notin D_f\)، ومع ذلك \(\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 1\)؛
  • أو \(f(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x-1}\) عند \(1\)، ونهايتها \(2\).

أو التعليل المبدئي: التعريف لا ينظر إلّا إلى قيم \(f(x)\) من أجل \(x\) حول \(a\)، ولا يستعمل القيمة \(f(a)\) أصلا.

البند 5 (2 ن) — لدينا \(2(1)+3 = 5\)، والمجال \(]4{,}8\,;5{,}2[\) هو \(]5-0{,}2\,;5+0{,}2[\)، إذن الشرط:

\[\lvert 2x+3-5\rvert < 0{,}2 \iff 2\lvert x-1\rvert < 0{,}2 \iff \lvert x-1\rvert < 0{,}1\]

الخلاصة: المجال \(]0{,}9\,;1{,}1[\).  (1,5 ن للحساب، 0,5 ن لكتابة المجال في صيغته النهائية)

تُقبل كلّ إجابة بمجال محتوى في \(]0{,}9\,;1{,}1[\) (مثلا \(]0{,}95\,;1{,}05[\))، لأنّ التعريف يتطلّب وجود مجال مناسب لا أوسعه.

الخطأ الأكثر كلفة في هذا البند

نسيان المعامل \(2\) وكتابة \(\lvert x-1\rvert < 0{,}2\) مباشرة: المجال الناتج \(]0{,}8\,;1{,}2[\) لا يضمن الشرط المطلوب (خذ \(x = 1{,}15\) فتجد \(2x+3 = 5{,}3 \notin \,]4{,}8\,;5{,}2[\)). تُخصم نقطة كاملة.

سلّم التقدير وما تفعله بعد التصحيح
العلامة التقدير ما ينبغي فعله
\(8\) – \(10\) ممتاز انتقل إلى الدرس 4
\(6\) – \(7{,}5\) جيد راجع تمارين المجموعة ج، خاصّة 19 و 20 و 21
\(4\) – \(5{,}5\) مقبول أعد قراءة المعيار الحاسم (النهايتان الجانبيتان) وأنجز تمارين المجموعتين أ و ب
\(< 4\) يستوجب دعما أعد الدرس من البداية مع الأمثلة المحلولة