انتقل إلى المحتوى

الدرس 4 — النهاية غير المنتهية عند عدد حقيقي \(a\)

أهداف الدرس

في نهاية هذا الدرس تكون قادرا على أن:

  • تصوغ تعريف \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty\) بالمجالات من الشكل \(]A\,;+\infty[\) وعبارة «\(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\)»؛
  • تنقل الصياغة إلى الحالة \(-\infty\) بالمجالات من الشكل \(]-\infty\,;B[\)؛
  • تقرأ المثال المرجعي \(\dfrac{1}{(x-1)^{2}}\) بيانيا وجبريا؛
  • تميّز بين حالة الأسّ الزوجي (نهاية واحدة من الجهتين) وحالة الأسّ الفردي (نهايتان جانبيتان متعاكستان)؛
  • تبرهن بالتعريف على نهاية لانهائية عند عدد حقيقي بإيجاد \(\alpha\) بدلالة العتبة.

1. وضعية الانطلاق

لتكن \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) بـ \(f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^{2}}\). لاحظ أنّ \(1 \notin D_f\)، فلا يمكن تطبيق ملاحظة الدوال المرجعية للدرس 3. لنحسب إذن بعض القيم قرب \(1\):

\(x\) \(0{,}9\) \(0{,}99\) \(0{,}999\) \(1\) \(1{,}001\) \(1{,}01\) \(1{,}1\)
\(f(x)\) \(100\) \(10^{4}\) \(10^{6}\) غير معرّف \(10^{6}\) \(10^{4}\) \(100\)

القيم هنا لا تتجمّع حول أيّ عدد: كلّما اقترب \(x\) من \(1\) — من اليمين أو من اليسار — كبرت \(f(x)\) بلا حدّ. فالسؤال الذي طرحناه في الدرس 3 («هل تدخل القيم إلى مجال ضيّق حول \(\ell\) ؟») لم يعد ملائما، ويحلّ محلّه السؤال الذي رأيناه في الدرس 2:

السؤال المحوري

هل يمكن جعل \(f(x)\) يتجاوز أيّ عتبة نختارها مهما كانت كبيرة — مثلا \(10^{12}\) — بمجرّد اختيار \(x\) قريبا بالقدر الكافي من \(1\) ؟

الجواب: نحلّ المتراجحة \(\dfrac{1}{(x-1)^{2}} > 10^{12}\). الطرفان موجبان، فبالقلب \((x-1)^{2} < 10^{-12}\)، أي \(\lvert x-1\rvert < 10^{-6}\).

إذن كلّ قيم \(f(x)\) من أجل \(x\) في المجال \(]1-10^{-6}\,;1+10^{-6}[\) (ماعدا \(1\)) تتجاوز \(10^{12}\)، أي أنّها كلّها تقع داخل \(\left]10^{12}\,;+\infty\right[\). والعملية تنجح مهما كانت العتبة المختارة. هذه بالضبط هي الفكرة التي يترجمها التعريف الآتي.

هذا الدرس هو التقاطع بين الدرسين 2 و 3

  • من الدرس 2 يأخذ شكل المجال على القيم: \(]A\,;+\infty[\)؛
  • ومن الدرس 3 يأخذ الشرط على المتغيّر: «\(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\)».

فليس فيه أيّ فكرة جديدة، بل تركيب بين خانتين تعرفهما.

2. التعريف

تعريف

\(a\) عدد حقيقي.

القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(+\infty\) عند \(a\) يعني أنّ كلّ مجال من الشكل \(]A\,;+\infty[\) (مع \(A\) عدد حقيقي) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\).

نكتب:

\[\lim_{x\to a} f(x) = +\infty\]

ونقول أنّ \(f(x)\) يؤول إلى \(+\infty\) لمّا \(x\) يؤول إلى \(a\).

تنبيه

نعرّف بطريقة مماثلة النهاية \(-\infty\) عند \(a\):

\(\lim\limits_{x\to a} f(x) = -\infty\) يعني أنّ كلّ مجال من الشكل \(]-\infty\,;B[\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\).

الرمزان اللذان يظهران معا في كلّ برهان

كما في الدرس 2، يظهر هنا عددان مختلفان لا يجوز الخلط بينهما. ونعتمد في هذه السلسلة الاصطلاح الآتي:

الرمز العتبة أو الدقّة الشرط
\(M\) عتبة على القيم \(f(x)\) \(f(x) > M\)  (أو \(f(x) < M\) في حالة \(-\infty\))
\(\alpha > 0\) تحكّم في المتغيّر \(x\) من أجل كلّ \(x\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\)، ماعدا \(a\)

فيصير نصّ العمل: «مهما كانت العتبة \(M\)، يوجد \(\alpha > 0\) بحيث \(0 < \lvert x-a\rvert < \alpha \implies f(x) > M\).»

والرمز \(A\) في نصّ التعريف أعلاه — كما ورد في المصدر — يلعب دور \(M\) نفسه: هو عتبة على القيم لا على المتغيّر.

استثناء \(x = a\) ضروري هنا

في هذا النوع من النهايات تكون \(f\) غير معرّفة عند \(a\) في كلّ الأمثلة تقريبا (وإلّا لكانت \(f(a)\) عددا حقيقيا، ولمَا كبرت القيم بلا حدّ حوله).

لذلك نعمل دائما على \(x\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\) ماعدا \(a\)، ونسيان هذا الاستثناء خطأ متكرّر في التحرير.

لماذا «كلّ مجال» هنا أيضا ؟

لو اكتفينا بمجال واحد، مثلا \(]5\,;+\infty[\)، لكان يكفي أن تتجاوز الدالة \(5\) قرب \(a\). والدالة الثابتة \(g(x) = 6\) تحقّق ذلك، مع أنّ نهايتها عند أيّ عدد \(a\) هي \(6\) لا \(+\infty\) !

الكلمة «كلّ» هي التي تفرض على القيم أن تتجاوز أيّ عتبة، وهي الكلمة نفسها التي كانت حاسمة في الدروس الثلاثة السابقة.

3. القالب الواحد — التعاريف الستّة مجتمعة

بهذا الدرس تكتمل قائمة التعاريف. وهي ليست ستّ قواعد تُحفظ، بل قالب واحد بخانتين تُملآن:

كلّ مجال (الخانة 1) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) (الخانة 2).

ما يؤول إليه \(x\) النهاية الخانة 1 — شكل المجال على القيم الخانة 2 — الشرط على \(x\)
\(x \to +\infty\) \(\ell\) مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) يوجد \(A\): كلّ \(x > A\)
\(x \to +\infty\) \(+\infty\) \(]M\,;+\infty[\) يوجد \(A\): كلّ \(x > A\)
\(x \to +\infty\) \(-\infty\) \(]-\infty\,;M[\) يوجد \(A\): كلّ \(x > A\)
\(x \to a\) \(\ell\) مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) يوجد \(\alpha>0\): كلّ \(x\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\)
\(x \to a\) \(+\infty\) \(]M\,;+\infty[\) يوجد \(\alpha>0\): كلّ \(x \neq a\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\)
\(x \to a\) \(-\infty\) \(]-\infty\,;M[\) يوجد \(\alpha>0\): كلّ \(x \neq a\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\)

القاعدة في سطرين

  • قيمة النهاية تحدّد الخانة الأولى (شكل المجال على القيم)؛
  • ما يؤول إليه \(x\) يحدّد الخانة الثانية (الشرط على المتغيّر).

وحالات \(x \to -\infty\) تُستنتج من السطور الثلاثة الأولى باستبدال «كلّ \(x > A\)» بـ «كلّ \(x < A\)».

4. المثال المرجعي: \(\dfrac{1}{(x-1)^{2}}\) عند \(1\)

نعود إلى دالة وضعية الانطلاق: \(f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^{2}}\) على \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

قراءة المنحني

منحني \(f\) في معلم متعامد ومتجانس:

  • المنحني موجود كلّيا فوق محور الفواصل، لأنّ \((x-1)^{2} > 0\) من أجل كلّ \(x \neq 1\)، فالدالة موجبة تماما؛
  • له فرعان يبتعدان صعودا نحو \(+\infty\) كلّما اقترب \(x\) من \(1\)، وهما متناظران بالنسبة إلى المستقيم ذي المعادلة \(x = 1\)؛
  • ويقترب الفرعان من محور الفواصل (\(y = 0\)) لمّا يبتعد \(x\) نحو \(+\infty\) أو نحو \(-\infty\).

نقرأ من ذلك نتيجتين:

\[\lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^{2}} = +\infty \qquad \text{و} \qquad \lim_{x\to \pm\infty}\frac{1}{(x-1)^{2}} = 0\]

فالمستقيم ذو المعادلة \(y = 0\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\) (الدرس 1)، والسلوك اللانهائي عند \(1\) هو موضوع هذا الدرس. ودالة واحدة تجمع بذلك درسين.

«المنحني يبتعد شاقوليا» ليس برهانا

الشكل يوحي بالنتيجة ولا يثبتها، تماما كما كان جدول القيم يوحي ولا يثبت في الدرس 3. والبرهان يُنجز بالتعريف، وهو موضوع التمرين 18.

5. الأسّ الزوجي والأسّ الفردي

قارن الدالّتين \(\dfrac{1}{(x-1)^{2}}\) و \(\dfrac{1}{x-1}\) قرب \(1\). الفرق بينهما ليس في «سرعة الكبر» بل في الإشارة:

إشارة المقام لمّا \(x > 1\) إشارة المقام لمّا \(x < 1\) النتيجة عند \(1\)
\(\dfrac{1}{(x-1)^{2}}\) موجب موجب \(\lim\limits_{x\to 1} f(x) = +\infty\)
\(\dfrac{1}{x-1}\) موجب سالب \(\lim\limits_{x\to 1^{+}} = +\infty\) و \(\lim\limits_{x\to 1^{-}} = -\infty\)، فلا توجد نهاية

الخطأ الأكثر شيوعا في هذا الدرس

الاستدلال: «المقام يؤول إلى \(0\)، إذن النهاية \(+\infty\).»

انعدام المقام يضمن أنّ القيم تكبر في القيمة المطلقة، ولا يقول شيئا عن الإشارة. والإشارة هي التي تفصل بين ثلاث حالات مختلفة تماما: النهاية \(+\infty\)، أو النهاية \(-\infty\)، أو انعدام النهاية.

القاعدة: ادرس إشارة المقام على جانبي \(a\) قبل أيّ حكم (التمرينان 12 و 21).

يُعمَّم ذلك على كلّ أسّ طبيعي غير معدوم \(p\):

\[\lim_{x\to a}\frac{1}{(x-a)^{p}} = \begin{cases} +\infty & \text{إذا كان } p \text{ زوجيا} \\[6pt] \text{لا توجد نهاية} & \text{إذا كان } p \text{ فرديا} \end{cases}\]

وفي حالة \(p\) الفردي تبقى النهايتان الجانبيتان موجودتين ومتعاكستين: \(+\infty\) من اليمين و \(-\infty\) من اليسار (التمرين 25).

الربط بالدرس 2

هذا هو الدور نفسه الذي لعبته زوجية الأسّ في الدرس 2 مع \(x^{n}\) عند \(-\infty\): الأسّ الزوجي يُلغي الإشارة، والأسّ الفردي يحتفظ بها. ما تغيّر هو موضع الملاحظة فقط.

6. أمثلة محلولة

مثال 1 — من عتبة عددية إلى مجال حول \(a\)

عيّن مجالا حول \(2\) يضمن \(\dfrac{1}{(x-2)^{2}} > 10^{6}\).

الحلّ

الدالة معرّفة من أجل \(x \neq 2\)، والطرفان موجبان تماما، فبالقلب:

\[\frac{1}{(x-2)^{2}} > 10^{6} \iff (x-2)^{2} < 10^{-6} \iff \lvert x-2\rvert < 10^{-3}\]

الخلاصة: يكفي اختيار \(x\) من المجال \(]1{,}999\,;2{,}001[\) ماعدا \(2\).

لاحظ اتّجاه القلب: كبر القيم يقابله صغر المجال حول \(a\). وهذا عكس ما كان يحدث عند \(+\infty\)، حيث كان كبر العتبة على القيم يقابله كبر العتبة على \(x\).

مثال 2 — الحالة \(-\infty\)

عيّن \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{-1}{(x-2)^{2}}\)، مع تحديد التعريف المستعمل.

الحلّ

من أجل كلّ \(x \neq 2\) لدينا \((x-2)^{2} > 0\)، إذن \(\dfrac{-1}{(x-2)^{2}} < 0\): الدالة سالبة تماما، وقيمتها المطلقة تكبر بلا حدّ قرب \(2\).

\[\lim_{x\to 2}\frac{-1}{(x-2)^{2}} = -\infty\]

التعريف المستعمل: ذاك الذي مجالاته من الشكل \(]-\infty\,;B[\)، أي التعريف الوارد في التنبيه.

الطريق الأقصر: هي الدالة السابقة مضروبة في \((-1)\)، فينقلب اتّجاه المتراجحة وتنقلب معه جهة اللانهاية.

مثال 3 — أسّ فردي: النهايتان الجانبيتان

ادرس سلوك \(g(x) = \dfrac{1}{x-1}\) قرب \(1\).

الحلّ

\(D_g = \mathbb{R}\setminus\{1\}\). ندرس إشارة المقام على جانبي \(1\):

  • من أجل \(x > 1\):  \(x-1 > 0\) ويؤول إلى \(0\)، فالمقلوب موجب ويكبر بلا حدّ:
\[\lim_{x\to 1^{+}}\frac{1}{x-1} = +\infty\]
  • من أجل \(x < 1\):  \(x-1 < 0\) ويؤول إلى \(0\)، فالمقلوب سالب وقيمته المطلقة تكبر بلا حدّ:
\[\lim_{x\to 1^{-}}\frac{1}{x-1} = -\infty\]

الاستنتاج: النهايتان الجانبيتان مختلفتان، إذن ليس لـ \(g\) نهاية عند \(1\).

التعليل بالتعريف: لو كانت \(\lim\limits_{x\to 1} g(x) = +\infty\)، لوجب أن تنتمي كلّ قيم \(g(x)\) إلى \(]0\,;+\infty[\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(1\). لكنّ أيّ مجال \(]1-\alpha\,;1+\alpha[\) يشمل أعدادا أصغر من \(1\)، وعندها \(g(x) < 0\): تناقض.

مثال 4 — دالة تجمع الدرسين 1 و 4

\(h\) معرّفة على \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) بـ \(h(x) = \dfrac{2}{(x-3)^{2}} + 5\). عيّن نهاياتها عند \(3\) وعند \(\pm\infty\).

الحلّ

عند \(3\). لمّا يقترب \(x\) من \(3\) تكبر \(\dfrac{2}{(x-3)^{2}}\) بلا حدّ (وهي موجبة)، وإضافة الثابت \(5\) لا تغيّر ذلك:

\[\lim_{x\to 3} h(x) = +\infty\]

عند \(\pm\infty\). الحدّ \(\dfrac{2}{(x-3)^{2}}\) نهايته \(0\) (نهاية مرجعية من الدرس 1)، إذن:

\[\lim_{x\to +\infty} h(x) = 5 \qquad \text{و} \qquad \lim_{x\to -\infty} h(x) = 5\]

ومنه المستقيم ذو المعادلة \(y = 5\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\).

البرهان بالتعريف عند \(3\) (يُفصَّل في التمرين 29): لتكن \(M\) عتبة، ونفترض \(M > 5\). عندئذ:

\[h(x) > M \iff \frac{2}{(x-3)^{2}} > M-5 \iff (x-3)^{2} < \frac{2}{M-5} \iff \lvert x-3\rvert < \sqrt{\frac{2}{M-5}}\]

فنأخذ \(\alpha = \sqrt{\dfrac{2}{M-5}}\).

7. المنهجية: كيف نبرهن على نهاية لانهائية عند \(a\) بالتعريف ؟

الخطوات الخمس

  1. لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية على القيم (يمكن الاقتصار على \(M > 0\) في حالة \(+\infty\) إذا كانت الدالة موجبة، لأنّ الحالة الأخرى تكون بديهية).
  2. ترجمة الشرط: \(f(x) \in \,]M\,;+\infty[\) يكافئ \(f(x) > M\)  (أو \(f(x) < M\) في حالة \(-\infty\)).
  3. حلّ المتراجحة ذات المجهول \(x\)، بإظهار \(\lvert x-a\rvert\)، مع التحقّق من إشارة الطرفين قبل كلّ قلب.
  4. إظهار \(\alpha\) بدلالة \(M\)، بحيث: كلّ \(x \neq a\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\) يحقّق الشرط.
  5. الخلاصة اللفظية المطابقة لنصّ التعريف.

الخلاصة ليست تفصيلا

كما في الدروس الثلاثة السابقة، البرهان الذي يتوقّف عند إيجاد \(\alpha\) دون كتابة الخلاصة يُعدّ ناقصا.

الخطوة الحاسمة: القلب

كلّ براهين هذا الدرس تمرّ بالانتقال:

\[\frac{1}{u} > M \;\longrightarrow\; u < \frac{1}{M}\]

وهو مشروط بموجبية الطرفين: لا يصحّ إلّا إذا كان \(u > 0\) و \(M > 0\). ولهذا نبدأ البرهان دائما بالتصريح: «نفترض \(M > 0\)»، ونتأكّد من أنّ المقام موجب على المجال الذي نعمل عليه.

وإهمال هذا التحقّق هو مصدر الخطأ في التمرينين 20 و 21.

8. ما يجب أن تتذكّره

المفهوم الصياغة
تعريف \(+\infty\) عند \(a\) كلّ مجال من الشكل \(]A\,;+\infty[\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\)
تعريف \(-\infty\) عند \(a\) كلّ مجال من الشكل \(]-\infty\,;B[\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\)
الرمزان \(M\) عتبة على القيم  ·  \(\alpha\) تحكّم في المتغيّر — لا تخلط بينهما
العلاقة النموذجية \(\dfrac{1}{(x-a)^{2}} > M \iff \lvert x-a\rvert < \dfrac{1}{\sqrt{M}}\)  (من أجل \(M>0\))
زوجية الأسّ \(\dfrac{1}{(x-a)^{p}}\) عند \(a\): نهاية \(+\infty\) إذا كان \(p\) زوجيا، ولا توجد نهاية إذا كان فرديا
الاستثناء \(x = a\) يُستثنى دائما من المجال، لأنّ \(f\) غير معرّفة عنده
فخّ أساسي انعدام المقام لا يعني \(+\infty\): ادرس الإشارة أوّلا