انتقل إلى المحتوى

تمارين الدرس 1 — النهاية المنتهية عند ما لا نهاية

كيف تستعمل هذه الصفحة

التمارين مرتّبة في أربع مجموعات متدرّجة الصعوبة. في كلّ مجموعة تجد أوّلا كتلة «الفكرة المفتاحية والإرشادات»، ثمّ التمارين، ولكلّ تمرين جوابه مطويّ.

انصح نفسك: لا تفتح الجواب قبل محاولة جادّة، ثمّ افتح الإرشاد قبل الجواب.

الوسم المعنى
مستوى 1 تذكّر وفهم
مستوى 2 تطبيق مباشر
مستوى 3 تحليل وربط
مستوى 4 برهان وتركيب

المجموعة أ — التعرّف والتذكّر

الفكرة المفتاحية والإرشادات

الفكرة: التعريف كمّي وليس وصفيا. الكلمتان الحاسمتان هما «كلّ مجال» و«كلّ القيم».

إرشاد 1: كلّما قرأت صياغة، استبدل «كلّ مجال» بـ «مجال واحد» واسأل: هل يبقى النصّ صحيحا ؟

إرشاد 2: المقارب الأفقي يترجم النهاية، ولا يمنع التقاطع.

تمرين 1 صح / خطأ مستوى 1

أجب بصحيح أو خطأ مع التعليل:

  1. القول أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell\) يعني أنّ مجالا مفتوحا شاملا لـ \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي.
  2. القول أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell\) يعني أنّ كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) يشمل بعض القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي.
  3. إذا كان \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell\) فإنّ كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) ابتداء من عتبة ما.
الجواب
  1. خطأ. استبدال «كلّ مجال» بـ «مجال» يُفقد التعريف معناه: يكفي حينئذ أن يشمل المجال \(]\ell-10^{6}\,;\ell+10^{6}[\) القيم، وهذا لا يقول شيئا عن التقارب.
  2. خطأ. «بعض القيم» غير كافية؛ التعريف يشترط دخول كلّ القيم ابتداء من عتبة ما.
  3. صحيح. هذه إعادة صياغة أمينة للتعريف، إذ إنّ «من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي» تعني بالضبط «ابتداء من عتبة ما».

تمرين 2 اختيار من متعدد مستوى 1

أيّ الكتابات الآتية صحيحة للتعبير عن أنّ نهاية \(f\) عند \(+\infty\) هي \(\ell\) ؟

  أ) \(\lim\limits_{x\to \ell} f(x) = +\infty\)    ب) \(f(+\infty) = \ell\)    ج) \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell\)    د) \(f(x) \to +\infty\)

الجواب

الكتابة الصحيحة هي (ج).

  • (أ) خاطئة: عكست دور \(\ell\) ودور \(+\infty\).
  • (ب) خاطئة: \(+\infty\) ليس عددا حقيقيا، فلا يقبل صورة بالدالة \(f\).
  • (د) خاطئة: تصف سلوك \(f(x)\) لا سلوك \(x\)، والنهاية المذكورة منتهية لا لانهائية.

تمرين 3 ملء فراغ مستوى 1

أكمل: «القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(\ell\) عند \(+\infty\) يعني أنّ ⋯ مجال ⋯ شامل للعدد \(\ell\) يشمل ⋯ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) ⋯ .»

الجواب

«... يعني أنّ كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) كبير بالقدر الكافي.»

تمرين 4 حساب مباشر مستوى 1

عيّن: \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}\).

الجواب

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} = 0\)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x} = 0\).

في الحالتين، المستقيم \(y = 0\) مقارب أفقي للمنحني.

تمرين 5 حساب مباشر مستوى 1

عيّن: \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\)  و  \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\).

الجواب

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}} = 0\)  و  \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0\).

تمرين 6 ربط مستوى 1

اربط كلّ دالة بنهايتها عند \(+\infty\):

الدالة النهاية
\(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) \(0\)
\(x \mapsto \dfrac{1}{x-5}\) \(0\)
\(x \mapsto \dfrac{1}{x^{2}}\) \(0\)
\(x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) \(0\)
\(x \mapsto \dfrac{1}{(x-2)^{3}}\) \(0\)
الجواب

نهايات الدوال الخمس كلّها تساوي \(0\) عند \(+\infty\).

الفائدة من التمرين: إدراك أنّ هذه الدوال تنتمي إلى عائلة واحدة — «واحد على مقدار يكبر بلا حدّ» — وأنّ منحنياتها جميعا تقبل المستقيم \(y = 0\) مقاربا أفقيا عند \(+\infty\).

تمرين 7 قراءة بيانية مستوى 1

منحني دالة \(g\) يقترب، لمّا يكبر \(x\)، من مستقيم أفقي يمرّ بالنقطة ذات الترتيب \(3\)، ويقترب لمّا يصغر \(x\) نحو \(-\infty\) من مستقيم أفقي يمرّ بالنقطة ذات الترتيب \(-1\).

اكتب النهايتين، ثمّ عيّن معادلتي المقاربين الأفقيين.

الجواب
\[\lim_{x\to+\infty} g(x) = 3 \qquad \text{و} \qquad \lim_{x\to-\infty} g(x) = -1\]

المستقيم ذو المعادلة \(y = 3\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\)، والمستقيم ذو المعادلة \(y = -1\) مقارب أفقي له عند \(-\infty\).

ملاحظة: يمكن لدالة أن تقبل مقاربين أفقيين مختلفين، واحدا عند \(+\infty\) وآخر عند \(-\infty\).

تمرين 8 صح / خطأ مستوى 1

«إذا كان المستقيم \(y = \ell\) مقاربا أفقيا لمنحني الدالة \(f\) عند \(+\infty\)، فإنّ المنحني لا يقطعه أبدا.»

الجواب

خطأ.

مثال مضاد: الدالة \(f : x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}\) على \(]0\,;+\infty[\). نهايتها \(0\) عند \(+\infty\)، فالمستقيم \(y = 0\) مقارب أفقي لمنحنيها. ومع ذلك ينعدم \(f(x)\) عند كلّ عدد من الشكل \(k\pi\) (مع \(k\) عدد طبيعي غير معدوم)، أي أنّ المنحني يقطع مقاربه عددا لا نهائيا من المرّات.

التعريف يشترط أن تدخل القيم إلى كلّ مجال حول \(\ell\)، ولا يشترط ألّا تساويه.

المجموعة ب — التطبيق المباشر

الفكرة المفتاحية والإرشادات

الفكرة: كلّ سؤال من نوع «أوجد \(A\)» هو في الحقيقة حلّ متراجحة.

إرشاد 1: اكتب الشرط \(f(x) \in \,]\ell-r\,;\ell+r[\) على شكل \(|f(x)-\ell| < r\).

إرشاد 2: قبل قلب طرفي متراجحة، تحقّق من أنّهما موجبان. القلب يعكس الاتّجاه: من أجل \(u, v > 0\) لدينا \(u < v \iff \dfrac{1}{u} > \dfrac{1}{v}\).

خطوات نموذجية: ترجمة الشرط ← تحديد إشارة المقام ← القلب ← استخراج \(x\) ← الخلاصة.

تمرين 9 حساب مباشر مستوى 2

عيّن نهاية \(f : x \mapsto \dfrac{1}{x-3}\) عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\)، ثمّ استنتج معادلة المقارب الأفقي.

الجواب

الدالة من الشكل المرجعي \(\dfrac{1}{x-a}\) مع \(a = 3\):

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-3} = 0 \qquad \text{و} \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-3} = 0\]

إذن المستقيم \(y = 0\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\).

تمرين 10 حساب مباشر مستوى 2

عيّن نهاية \(x \mapsto \dfrac{1}{(x+2)^{3}}\) عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\).

الجواب

الدالة من الشكل \(\dfrac{1}{(x-a)^{p}}\) مع \(a = -2\) و \(p = 3\)، إذن النهايتان تساويان \(0\)، والمستقيم \(y = 0\) مقارب أفقي عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\).

تمرين 11 حساب مباشر مستوى 2

عيّن مجموعة تعريف \(h : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)، ثمّ نهايتها عند \(+\infty\). ولماذا لا يُطرح السؤال عند \(-\infty\) ؟

الجواب

\(D_h = \,]0\,;+\infty[\)، لأنّ الجذر يستوجب \(x \geq 0\) والمقام يستوجب \(x \neq 0\).

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}} = 0\]

السؤال عند \(-\infty\) بلا معنى، لأنّ \(D_h\) لا يشمل أيّ قيمة سالبة، فلا يمكن لـ \(x\) أن يؤول إلى \(-\infty\) داخل مجموعة التعريف.

تمرين 12 قراءة جدول مستوى 2

الجدول الآتي يعطي قيم \(f(x) = \dfrac{3x+1}{x}\):

\(x\) \(10\) \(10^{2}\) \(10^{3}\) \(10^{4}\)
\(f(x)\) \(3{,}1\) \(3{,}01\) \(3{,}001\) \(3{,}0001\)

خمّن نهاية \(f\) عند \(+\infty\)، ثمّ برّر تخمينك بحساب \(f(x) - 3\).

الجواب

التخمين: \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 3\).

التبرير: \(f(x) - 3 = \dfrac{3x+1}{x} - 3 = \dfrac{3x+1-3x}{x} = \dfrac{1}{x}\).

وبما أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} = 0\)، فإنّ \(f(x)\) يقترب من \(3\) بالقدر الذي نريد.

تنبيه: الجدول وحده ليس برهانا؛ فعدد منته من القيم لا يُثبت خاصية على مجال لانهائي. البرهان هو الحساب أعلاه.

تمرين 13 حساب مباشر مستوى 2

دالة \(u\) نهايتها \(-2\) عند \(+\infty\) ونهايتها \(5\) عند \(-\infty\). عيّن معادلتي المقاربين الأفقيين لمنحنيها.

الجواب

المستقيم \(y = -2\) مقارب أفقي عند \(+\infty\)، والمستقيم \(y = 5\) مقارب أفقي عند \(-\infty\).

تمرين 14 حلّ متراجحة مستوى 2

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(\dfrac{1}{x} \in \,]-0{,}01\,;0{,}01[\).

الجواب

نفترض \(x > 0\)، إذن \(\dfrac{1}{x} > 0\) والشرط يصبح \(\dfrac{1}{x} < 0{,}01\).

الطرفان موجبان، فبالقلب: \(x > 100\).

الخلاصة: \(A = 100\) يفي بالغرض.

تمرين 15 حلّ متراجحة مستوى 2

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(\dfrac{1}{x^{2}} \in \,]-0{,}001\,;0{,}001[\).

الجواب

من أجل \(x > 0\) لدينا \(\dfrac{1}{x^{2}} > 0\)، والشرط يصبح \(\dfrac{1}{x^{2}} < 0{,}001\).

بالقلب: \(x^{2} > 1000\)، ثمّ \(x > \sqrt{1000} \approx 31{,}62\).

الخلاصة: \(A = \sqrt{1000}\) يفي بالغرض، ويمكن الاكتفاء بـ \(A = 32\).

تمرين 16 اختيار من متعدد مستوى 2

\(f(x) = 2 + \dfrac{1}{x}\) على \(]0\,;+\infty[\). أيّ المجالات الآتية يشمل كلّ قيم \(f(x)\) من أجل \(x > 100\) ؟

  أ) \(]1{,}99\,;2[\)    ب) \(]2\,;2{,}01[\)    ج) \(]2{,}01\,;2{,}1[\)    د) \(]0\,;2[\)

الجواب

الجواب (ب).

من أجل \(x > 100\) لدينا \(0 < \dfrac{1}{x} < 0{,}01\)، ومنه \(2 < f(x) < 2{,}01\).

المجالان (أ) و(د) يقعان تحت \(2\) بينما \(f(x) > 2\) دائما؛ والمجال (ج) لا يشمل القيم القريبة جدا من \(2\).

تمرين 17 رسم تخطيطي مستوى 2

ارسم منحنيا ممكنا لدالة \(f\) معرّفة على \(\mathbb{R}\) بحيث \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 2\) و \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -1\)، مبيّنا المقاربين.

عناصر التصحيح

يجب أن يُظهر الرسم:

  • مستقيمين أفقيين متقطّعين معادلتاهما \(y = 2\) و \(y = -1\)؛
  • فرعا المنحني يقترب من \(y = 2\) لمّا يكبر \(x\)، ومن \(y = -1\) لمّا يصغر \(x\) نحو \(-\infty\)؛
  • يُقبل أن يقطع المنحني أيّا من المقاربين مرّة أو أكثر.

كلّ رسم يحقّق هذه الشروط صحيح؛ فالمسألة مفتوحة على عدّة حلول.

المجموعة ج — التحليل والربط

الفكرة المفتاحية والإرشادات

الفكرة: البرهان بالتعريف = «ليكن \(r>0\)» ← ترجمة الشرط ← تبسيط \(f(x)-\ell\) ← حلّ المتراجحة ← إظهار \(A\) بدلالة \(r\) ← الخلاصة اللفظية.

إرشاد 1: ابدأ دائما بحساب الفرق \(f(x) - \ell\) وتبسيطه؛ فهو ما يقيس بُعد \(f(x)\) عن النهاية.

إرشاد 2: \(A\) يُكتب بدلالة \(r\). وجود قيمة واحدة صالحة يكفي، ولا يُطلب أصغرها.

إرشاد 3: لا تنس التصريح بفرضية «\(x\) كبير» عند تحديد إشارة المقام.

تمرين 18 برهان بالتعريف مستوى 3

\(f\) معرّفة على \(]2\,;+\infty[\) بـ \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\). برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0\).

الحلّ النموذجي

1. ليكن \(r > 0\) عددا حقيقيا كيفيا. نريد أن نبيّن أنّ \(|f(x) - 0| < r\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي.

2. من أجل \(x > 2\) لدينا \(x - 2 > 0\)، إذن \(f(x) > 0\) والشرط يصبح:

\[\frac{1}{x-2} < r\]

3. الطرفان موجبان، فبالقلب:

\[x - 2 > \frac{1}{r} \quad \text{أي} \quad x > 2 + \frac{1}{r}\]

4. نضع \(A = 2 + \dfrac{1}{r}\). عندئذ من أجل كلّ \(x > A\) تكون \(f(x) \in \,]-r\,;r[\).

5. الخلاصة: كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(0\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x-2} = 0\).

تمرين 19 برهان بالتعريف مستوى 3

برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(3 + \dfrac{1}{x}\right) = 3\).

الحلّ

ليكن \(r > 0\). لدينا \(\left|\left(3+\dfrac{1}{x}\right) - 3\right| = \left|\dfrac{1}{x}\right| = \dfrac{1}{x}\) من أجل \(x > 0\).

والشرط \(\dfrac{1}{x} < r\) يكافئ \(x > \dfrac{1}{r}\).

نضع \(A = \dfrac{1}{r}\): من أجل كلّ \(x > A\) تنتمي \(f(x)\) إلى \(]3-r\,;3+r[\).

الخلاصة: \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(3+\dfrac{1}{x}\right) = 3\).

تمرين 20 حساب مباشر مستوى 3

\(f(x) = \dfrac{4x-5}{2x+3}\). تحقّق من أنّ \(f(x) - 2 = \dfrac{-11}{2x+3}\)، ثمّ خمّن نهاية \(f\) عند \(+\infty\).

الجواب
\[f(x) - 2 = \frac{4x-5}{2x+3} - 2 = \frac{4x-5-2(2x+3)}{2x+3} = \frac{4x-5-4x-6}{2x+3} = \frac{-11}{2x+3}\]

لمّا يكبر \(x\) يكبر \(2x+3\) بلا حدّ، فيقترب الكسر من \(0\). التخمين: \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 2\).

تمرين 21 حلّ متراجحة مستوى 3

بالاعتماد على التمرين السابق، أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(1{,}95 < f(x) < 2{,}05\).

الحلّ

الشرط \(1{,}95 < f(x) < 2{,}05\) يكافئ \(|f(x) - 2| < 0{,}05\)، أي:

\[\left|\frac{-11}{2x+3}\right| < 0{,}05 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{11}{|2x+3|} < 0{,}05\]

نبحث عن \(x\) كبير، فنفترض \(x > 0\) ومنه \(2x+3 > 0\):

\[\frac{11}{2x+3} < 0{,}05 \iff 2x+3 > \frac{11}{0{,}05} = 220 \iff 2x > 217 \iff x > 108{,}5\]

الخلاصة: \(A = 108{,}5\) يفي بالغرض (وتصلح كذلك \(A = 109\)).

تمرين 22 تعميم مستوى 3

عمّم التمرين 21: أوجد \(A\) بدلالة \(r\) بحيث \(x > A \Rightarrow |f(x) - 2| < r\)، ثمّ اكتب خلاصة البرهان.

الحلّ

ليكن \(r > 0\). من أجل \(x > 0\) لدينا \(2x+3 > 0\)، إذن:

\[\frac{11}{2x+3} < r \iff 2x+3 > \frac{11}{r} \iff x > \frac{1}{2}\left(\frac{11}{r} - 3\right)\]

نضع \(A = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{11}{r} - 3\right)\).

الخلاصة: كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(2\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x-5}{2x+3} = 2\)، والمستقيم \(y = 2\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\).

تحقّق: من أجل \(r = 0{,}05\) نجد \(A = \dfrac{1}{2}(220-3) = 108{,}5\)، وهو ما وجدناه في التمرين 21.

تمرين 23 نقد استدلال مستوى 3

كتب تلميذ: «\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x-a} = 0\) لأنّ المقام يكبر، والكسر ذو المقام الكبير صغير.»

ما مواطن الضعف في هذا الاستدلال ؟ اكتب برهانا صحيحا.

الجواب

مواطن الضعف: العبارة وصفية لا كمّية. «يكبر» و«صغير» لا تُثبتان أنّ كلّ القيم تدخل إلى كلّ مجال مفتوح حول \(0\). الاستدلال يصف ظاهرة ولا يستعمل التعريف.

البرهان الصحيح: ليكن \(r > 0\). من أجل \(x > a\) لدينا \(x - a > 0\)، إذن:

\[\frac{1}{x-a} < r \iff x - a > \frac{1}{r} \iff x > a + \frac{1}{r}\]

نضع \(A = a + \dfrac{1}{r}\)، فمن أجل كلّ \(x > A\) تكون \(\dfrac{1}{x-a} \in \,]-r\,;r[\).

الخلاصة: \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x-a} = 0\).

تمرين 24 مثال مضاد مستوى 3

أعط مثالا لدالة محدودة على \(\mathbb{R}\) ليست لها نهاية عند \(+\infty\)، وعلّل بالتعريف.

الجواب

المثال: \(f : x \mapsto \sin x\)، وهي محدودة لأنّ \(-1 \leq \sin x \leq 1\) من أجل كلّ \(x\).

التعليل: لنفترض بالخُلف أنّ لها نهاية \(\ell\) عند \(+\infty\). نأخذ المجال المفتوح \(\left]\ell-\dfrac{1}{2}\,;\ell+\dfrac{1}{2}\right[\)، وهو مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) وطوله \(1\).

حسب التعريف، يجب أن يشمل هذا المجال كلّ قيم \(\sin x\) ابتداء من عتبة ما. لكنّ الدالة \(\sin\) تأخذ القيمتين \(1\) و \(-1\) مهما كبر \(x\)، والمسافة بينهما \(2\).

ولا يمكن لمجال طوله \(1\) أن يشمل عددين المسافة بينهما \(2\) — وهذا تناقض.

الخلاصة: ليس للدالة \(\sin\) نهاية عند \(+\infty\). إذن كون الدالة محدودة لا يكفي لوجود نهاية.

تمرين 25 قراءة بيانية مستوى 3

منحني دالة \(v\) معرّفة على \(\mathbb{R}\) يتذبذب حول المستقيم \(y = 1\) بتذبذبات يتناقص اتّساعها كلّما كبر \(x\)، ويقطع هذا المستقيم عند كلّ عدد صحيح.

  1. ما نهاية \(v\) عند \(+\infty\) ؟
  2. ما معادلة المقارب الأفقي ؟
  3. كم مرّة يقطع المنحني مقاربه ؟ وهل يناقض ذلك التعريف ؟
الجواب
  1. \(\lim\limits_{x\to+\infty} v(x) = 1\)، لأنّ اتّساع التذبذب يؤول إلى \(0\)، فتدخل كلّ القيم إلى أيّ مجال حول \(1\) ابتداء من عتبة ما.
  2. المستقيم \(y = 1\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\).
  3. يقطعه عددا لا نهائيا من المرّات (عند كلّ عدد صحيح). وهذا لا يناقض التعريف إطلاقا: التعريف يشترط أن تكون القيم داخل المجال، ولا يمنعها من أن تساوي \(\ell\).

المجموعة د — البرهان والتركيب

الفكرة المفتاحية والإرشادات

الفكرة: الانتقال من الحالات الخاصة إلى البنية العامة للتعريف.

إرشاد 1: لاحظ التكافؤ \(y \in \,]\ell-r\,;\ell+r[ \iff y - \ell \in \,]-r\,;r[\)؛ هذه الملاحظة وحدها تكفي للتمرين 26.

إرشاد 2: أمام دالة ناطقة، أنجز القسمة لتكتبها على شكل «ثابت \(+\) حدّ نهايته \(0\)».

تمرين 26 برهان بالتعريف مستوى 4

برهن، انطلاقا من التعريف وحده، على التكافؤ:

\[\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - \ell\big) = 0\]
الحلّ

نضع \(g(x) = f(x) - \ell\).

الفكرة: المجالات المفتوحة الشاملة لـ \(\ell\) هي بالضبط صور المجالات المفتوحة الشاملة لـ \(0\) بالانسحاب الذي شعاعه \(\ell\).

وبدقّة: من أجل كلّ \(r > 0\)،

\[f(x) \in \,]\ell-r\,;\ell+r[ \iff -r < f(x)-\ell < r \iff g(x) \in \,]-r\,;r[\]

إذن الشرطان «كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) يشمل كلّ قيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي» و«كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(0\) يشمل كلّ قيم \(g(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي» متكافئان، لأنّهما يتحقّقان من أجل العتبة \(A\) نفسها.

الخلاصة: التكافؤ محقّق. وهذه النتيجة هي التي تبرّر المنهجية المعتمدة: البرهان على نهاية منتهية يُختزل دائما في البرهان على أنّ فرقا ما نهايته \(0\).

تمرين 27 برهان بالتعريف مستوى 4

برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0\)، بإيجاد \(A\) بدلالة \(r\).

الحلّ

ليكن \(r > 0\). من أجل \(x > 0\) لدينا \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} > 0\)، إذن:

\[\frac{1}{\sqrt{x}} < r \iff \sqrt{x} > \frac{1}{r} \iff x > \frac{1}{r^{2}}\]

(القلب مسموح لأنّ الطرفين موجبان؛ والتربيع مسموح لأنّ الدالة \(t \mapsto t^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\).)

نضع \(A = \dfrac{1}{r^{2}}\).

الخلاصة: كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(0\) يشمل كلّ القيم \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) من أجل \(x > A\)، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0\).

تمرين 28 برهان بالتعريف مستوى 4

\(p\) عدد طبيعي غير معدوم و \(a\) عدد حقيقي. برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{(x-a)^{p}} = 0\).

الحلّ

ليكن \(r > 0\). نعمل من أجل \(x < a\)، فيكون \(x - a < 0\) و \(|x-a| = a-x\).

\[\left|\frac{1}{(x-a)^{p}}\right| = \frac{1}{|x-a|^{p}} < r \iff |x-a|^{p} > \frac{1}{r} \iff |x-a| > \left(\frac{1}{r}\right)^{\tfrac{1}{p}}\]

وبما أنّ \(|x-a| = a-x\)، فإنّ الشرط يكافئ:

\[a - x > \left(\frac{1}{r}\right)^{\tfrac{1}{p}} \iff x < a - \left(\frac{1}{r}\right)^{\tfrac{1}{p}}\]

نضع \(A = a - \left(\dfrac{1}{r}\right)^{\tfrac{1}{p}}\)، فمن أجل كلّ \(x < A\) تنتمي القيمة إلى \(]-r\,;r[\).

الخلاصة: \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{(x-a)^{p}} = 0\).

ملاحظة: عند \(-\infty\) نبحث عن عتبة \(A\) يتحقّق الشرط من أجل كلّ \(x\) أصغر منها، لا أكبر.

تمرين 29 مسألة مركّبة مستوى 4

\(a, b, c, d\) أعداد حقيقية مع \(c \neq 0\)، و \(f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\) على \(\mathbb{R} - \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\).

  1. تحقّق من أنّ \(f(x) = \dfrac{a}{c} + \dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}\).
  2. استنتج نهاية \(f\) عند \(+\infty\) ومعادلة المقارب الأفقي.
  3. برهن على النتيجة باستعمال التعريف (تُفترض \(bc - ad \neq 0\)).
الحلّ

1. نوحّد المقامات في الطرف الأيمن:

\[\frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)} = \frac{a(cx+d) + bc-ad}{c(cx+d)} = \frac{acx + ad + bc - ad}{c(cx+d)} = \frac{acx+bc}{c(cx+d)} = \frac{c(ax+b)}{c(cx+d)} = f(x)\]

2. الحدّ \(\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}\) من الشكل «ثابت على مقدار يكبر بلا حدّ»، فنهايته \(0\) عند \(+\infty\). إذن:

\[\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{a}{c}\]

والمستقيم ذو المعادلة \(y = \dfrac{a}{c}\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\).

3. ليكن \(r > 0\). نضع \(k = bc-ad \neq 0\). لدينا:

\[\left|f(x) - \frac{a}{c}\right| = \frac{|k|}{|c|\cdot|cx+d|}\]

من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي يكون \(|cx+d| = |c|\,\left|x + \dfrac{d}{c}\right|\) موجبا ويكبر بلا حدّ. والشرط:

\[\frac{|k|}{|c|\cdot|cx+d|} < r \iff |cx+d| > \frac{|k|}{|c|\,r}\]

وهو محقّق من أجل كلّ \(x\) أكبر من عتبة مناسبة، مثلا:

\[A = \frac{1}{|c|}\left(\frac{|k|}{|c|\,r} + |d|\right)\]

الخلاصة: \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{ax+b}{cx+d} = \dfrac{a}{c}\).

تحقّق: من أجل \(a=4\)، \(b=-5\)، \(c=2\)، \(d=3\) نجد \(\dfrac{a}{c} = 2\) و \(k = bc-ad = -10-12 = -22\)، وهو ما يوافق \(f(x)-2 = \dfrac{-22}{2(2x+3)} = \dfrac{-11}{2x+3}\) — مطابق للتمرين 20.

تمرين 30 تحدٍّ مستوى 4

ابن دالة \(f\) نهايتها \(0\) عند \(+\infty\)، لكنّها تأخذ قيما موجبة وقيما سالبة مهما كبر \(x\). برّر توافق ذلك مع التعريف.

الحلّ

الدالة: \(f : x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}\) على \(]0\,;+\infty[\).

تأخذ قيما من الإشارتين مهما كبر \(x\): من أجل \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) يكون \(f(x) > 0\)، ومن أجل \(x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\) يكون \(f(x) < 0\)، وذلك من أجل كلّ عدد طبيعي \(k\) مهما كان كبيرا.

ومع ذلك نهايتها \(0\): ليكن \(r > 0\). من أجل \(x > 0\) لدينا:

\[|f(x)| = \frac{|\sin x|}{x} \leq \frac{1}{x}\]

لأنّ \(|\sin x| \leq 1\). إذن يكفي أن يكون \(\dfrac{1}{x} < r\)، أي \(x > \dfrac{1}{r}\).

نضع \(A = \dfrac{1}{r}\): من أجل كلّ \(x > A\) تكون \(f(x) \in \,]-r\,;r[\).

الخلاصة والدرس المستفاد: التعريف لا يشترط ثبات الإشارة، ولا رتابة الدالة، ولا اقترابها من النهاية «من جهة واحدة». يشترط شيئا واحدا فقط: أن تدخل كلّ القيم إلى المجال ابتداء من عتبة ما.