انتقل إلى المحتوى

الدرس 3 — النهاية المنتهية عند عدد حقيقي \(a\)

أهداف الدرس

في نهاية هذا الدرس تكون قادرا على أن:

  • تصوغ تعريف \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell\) بلغة المجالات المفتوحة الشاملة لـ \(\ell\) وعبارة «\(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\)»؛
  • تقرأ جدول قيم قرب \(a\) لتخمين النهاية، مع إدراك أنّ الجدول ليس برهانا؛
  • تعيّن النهاية من اليمين والنهاية من اليسار، وتستدلّ على انعدام النهاية عند اختلافهما؛
  • توظّف ملاحظة الدوال المرجعية: إذا كان \(a \in D_f\) و \(f\) دالة مرجعية فإنّ \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)\)؛
  • تميّز بين \(\lim\limits_{x\to a} f(x)\) و \(f(a)\).

1. وضعية الانطلاق

في الدرسين السابقين كان \(x\) يؤول إلى \(+\infty\) أو إلى \(-\infty\). نغيّر الآن موضع الملاحظة: نُبقي القيم التي يؤول إليها \(x\) عددا حقيقيا \(a\)، ونسأل عن سلوك \(f(x)\) حينئذ.

لتكن \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R}^{*}\) بـ \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\) (\(x\) بالراديان). لاحظ أوّلا أنّ \(f\) غير معرّفة عند \(0\). ومع ذلك، لنحسب قيمها من أجل \(x\) قريب من \(0\):

\(x\) \(-0{,}04\) \(-0{,}03\) \(-0{,}02\) \(-0{,}01\) \(0\) \(0{,}01\) \(0{,}02\) \(0{,}03\) \(0{,}04\)
\(f(x)\) \(0{,}999733\) \(0{,}999850\) \(0{,}999933\) \(0{,}999983\) غير معرّف \(0{,}999983\) \(0{,}999933\) \(0{,}999850\) \(0{,}999733\)

السؤال المحوري

القيم تتجمّع حول \(1\) من اليمين ومن اليسار. لكن هل يكفي هذا ؟ هل يمكن جعل \(f(x)\) يدخل إلى مجال ضيّق حول \(1\) — مثلا \(]0{,}9999\,;1{,}0001[\) — بمجرّد اختيار \(x\) قريبا بالقدر الكافي من \(0\) ؟

هذا هو السؤال نفسه الذي طرحناه في الدرس 1، ولم يتغيّر منه إلّا الشرط على \(x\): كان «\(x\) كبير بالقدر الكافي»، وصار «\(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\)».

الجدول يُخمّن ولا يبرهن

الجدول يعرض تسع قيم لا غير، وأقصى ما يمنحه هو تخمين. أمّا قيمة النهاية \(1\) فتُبرهن في درس الاشتقاقية، لا انطلاقا من هذه الأعداد.

ولاحظ الفخّ العددي: أكبر قيمة معروضة هي \(0{,}999983\)، فمن يقرأ الجدول قراءة سطحية قد يخمّن نهاية تساوي \(0{,}99998\) بدل \(1\) (التمرين 22).

2. التعريف

تعريف

\(a\) و \(\ell\) عددان حقيقيان.

القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(\ell\) عند \(a\) يعني أنّ كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\).

نكتب:

\[\lim_{x\to a} f(x) = \ell\]

ونقول أنّ \(f(x)\) تؤول إلى \(\ell\) لمّا \(x\) يؤول إلى \(a\).

القالب الواحد

التعاريف الثلاثة التي رأيناها إلى الآن ليست ثلاث قواعد تُحفظ، بل قالب واحد بخانتين تُملآن:

ما يؤول إليه \(x\) النهاية شكل المجال على القيم \(f(x)\) الشرط على \(x\)
\(x \to +\infty\) \(\ell\) مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) يوجد \(A\): كلّ \(x > A\)
\(x \to +\infty\) \(+\infty\) \(]M\,;+\infty[\) يوجد \(A\): كلّ \(x > A\)
\(x \to a\) \(\ell\) مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) يوجد \(\alpha > 0\): كلّ \(x\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\)

فالخانة الأولى تحدّدها قيمة النهاية، والخانة الثانية يحدّدها ما يؤول إليه \(x\). وهذا الدرس لا يغيّر إلّا الخانة الثانية.

اصطلاح الرموز في هذا الدرس

الرمز ماذا يقيس العبارة الموافقة
\(r > 0\) نصف سعة المجال حول \(\ell\) — دقّة مطلوبة على القيم \(f(x) \in \,]\ell-r\,;\ell+r[\)، أي \(\lvert f(x)-\ell\rvert < r\)
\(\alpha > 0\) نصف سعة المجال حول \(a\) — تحكّم في المتغيّر \(x \in \,]a-\alpha\,;a+\alpha[\)، أي \(\lvert x-a\rvert < \alpha\)

والبنية هي نفسها بنية الدرسين السابقين: \(r\) يقابل العتبة \(M\) على القيم، و \(\alpha\) يقابل العتبة \(A\) على المتغيّر. فيصير نصّ العمل:

«مهما كانت الدقّة \(r > 0\)، يوجد \(\alpha > 0\) بحيث \(\lvert x-a\rvert < \alpha \implies \lvert f(x)-\ell\rvert < r\).»

\(f\) قد لا تكون معرّفة عند \(a\)

المثال \(\dfrac{\sin x}{x}\) يُظهر ذلك مباشرة: الدالة غير معرّفة عند \(0\)، ولها مع ذلك نهاية عنده تساوي \(1\).

فالنهاية عند \(a\) تصف سلوك الدالة حول \(a\)، لا عند \(a\). والقيمة \(f(a)\) — إن وُجدت — لا تدخل في الحساب؛ لذلك نعمل على \(x\) من \(]a-\alpha\,;a+\alpha[\) مع استثناء \(a\) عند الاقتضاء.

لماذا «كلّ مجال» هنا أيضا ؟

لو اكتفينا بمجال واحد، مثلا \(]0\,;2[\) الشامل لـ \(1\)، لكان يكفي أن تدخل القيم إلى هذا المجال الواسع. والدالة الثابتة \(g(x) = 1{,}5\) تحقّق ذلك، مع أنّ نهايتها \(1{,}5\) لا \(1\) !

الكلمة «كلّ» هي التي تفرض دخول القيم إلى مجالات ضيّقة بالقدر الذي نريد حول \(\ell\)، وهي وحدها ما يعطي المعنى الصحيح. وهي الكلمة نفسها التي كانت حاسمة في الدرسين 1 و 2.

3. النهاية من اليمين والنهاية من اليسار

قد يختلف سلوك الدالة على جانبي \(a\)، فنحتاج إلى تقييد الدراسة على جانب واحد.

تعريف

  • النهاية من اليمين عند \(a\)، ونكتبها \(\lim\limits_{x\to a^{+}} f(x)\)، هي نهاية \(f\) عند \(a\) لمّا نقيّد \(x\) على \(]a\,;a+\alpha[\) فقط؛
  • النهاية من اليسار عند \(a\)، ونكتبها \(\lim\limits_{x\to a^{-}} f(x)\)، هي نهايتها لمّا نقيّد \(x\) على \(]a-\alpha\,;a[\) فقط.

المعيار الحاسم

تقبل \(f\) نهاية \(\ell\) عند \(a\) إذا وفقط إذا وُجدت النهايتان الجانبيتان وتساوتا معا \(\ell\):

\[\lim_{x\to a} f(x) = \ell \iff \lim_{x\to a^{-}} f(x) = \lim_{x\to a^{+}} f(x) = \ell\]

(يُبرهن على هذا التكافؤ في التمرين 28.)

المثال المرجعي: \(\dfrac{\lvert x\rvert}{x}\) عند \(0\)

لتكن \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R}^{*}\) بـ \(f(x) = \dfrac{\lvert x\rvert}{x}\). نفصل الحالات حسب إشارة \(x\):

\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{-x}{x} = -1 & \text{على } ]-\infty\,;0[ \\[8pt] \dfrac{x}{x} = 1 & \text{على } ]0\,;+\infty[ \end{cases}\]

إذن \(\lim\limits_{x\to 0^{-}} f(x) = -1\) و \(\lim\limits_{x\to 0^{+}} f(x) = 1\).

النهايتان مختلفتان، إذن ليس للدالة \(f\) نهاية عند \(0\) (لكنّها تقبل نهاية من اليمين وأخرى من اليسار).

التعليل بالتعريف مباشرة

لنفترض وجود نهاية \(\ell\)، ولنأخذ المجال المفتوح \(\left]\ell-\dfrac{1}{2}\,;\ell+\dfrac{1}{2}\right[\)، وطوله \(1\).

مهما كان \(\alpha > 0\)، يشمل المجال \(]-\alpha\,;\alpha[\) أعدادا موجبة وأعدادا سالبة، فتأخذ \(f\) عليه القيمتين \(1\) و \(-1\) معا. ويلزم إذن أن يشمل مجال طوله \(1\) عددين المسافة بينهما \(2\): تناقض.

الخلاصة: لا وجود لأيّ \(\ell\) يحقّق التعريف.

خطأ شائع

عند اختلاف النهايتين الجانبيتين، لا يجوز اختيار إحداهما وكتابتها نهاية للدالة، ولا كتابة أنّ النهاية تساوي «\(1\) و \(-1\)». الجواب الوحيد الصحيح هو: النهاية غير موجودة.

4. ملاحظة الدوال المرجعية

ملاحظة

\(a\) عدد حقيقي ينتمي إلى مجموعة تعريف دالة \(f\). إذا كانت \(f\) دالة مرجعية (كثير حدود، دالة ناطقة، دالة جيب، دالة جيب تمام، …) فإنّ \(f\) تقبل نهاية عند \(a\) و:

\[\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\]

مثلا \(\lim\limits_{x\to a} x^{2} = a^{2}\)، ومنه \(\lim\limits_{x\to 3} x^{2} = 9\).

هذه الملاحظة هي أداة الحساب اليومية في هذا الدرس: فهي تختصر البرهان بالتعريف إلى تعويض بسيط. لكنّ استعمالها مشروط بشرطين لا ثالث لهما:

الشرط ما يحدث عند إهماله
\(f\) دالة مرجعية لا يمكن تطبيقها على دالة معرّفة بفرعين مثل \(\dfrac{\lvert x\rvert}{x}\)
\(a \in D_f\) لا يمكن كتابة \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{1}{x-2} = \dfrac{1}{0}\) — والحالة هذه موضوع الدرس 4

التمييز بين \(\lim\limits_{x\to a} f(x)\) و \(f(a)\)

الملاحظة تقول إنّ العددين يتساويان في حالة الدوال المرجعية. وهذا لا يعني أنّهما الشيء نفسه:

  • قد توجد النهاية دون أن توجد \(f(a)\)  (مثال: \(\dfrac{\sin x}{x}\) عند \(0\))؛
  • قد توجد \(f(a)\) دون أن توجد النهاية  (مثال: دالة معرّفة بفرعين لا يتّفقان عند \(a\))؛
  • وقد يوجدان معا ويختلفان  (المثال المحلول 4 أدناه).

5. أمثلة محلولة

مثال 1 — من الدقّة العددية إلى الدقّة الرمزية

لتكن \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R}\) بـ \(f(x) = 3x-1\)، ولاحظ أنّ \(f(2) = 5\).

  1. عيّن مجالا حول \(2\) يضمن \(f(x) \in \,]4{,}9\,;5{,}1[\).
  2. ثمّ، من أجل \(r > 0\) كيفي، عيّن مجالا حول \(2\) يضمن \(f(x) \in \,]5-r\,;5+r[\).
الحلّ

1. الشرط \(f(x) \in \,]4{,}9\,;5{,}1[\) يكافئ \(\lvert f(x)-5\rvert < 0{,}1\)، أي:

\[\lvert 3x-1-5\rvert < 0{,}1 \iff \lvert 3x-6\rvert < 0{,}1 \iff 3\lvert x-2\rvert < 0{,}1 \iff \lvert x-2\rvert < \frac{1}{30}\]

الخلاصة: يكفي اختيار \(x\) من المجال \(\left]2-\dfrac{1}{30}\,;2+\dfrac{1}{30}\right[\).

2. بالحساب نفسه: \(\lvert 3x-6\rvert < r \iff \lvert x-2\rvert < \dfrac{r}{3}\).

نضع \(\alpha = \dfrac{r}{3}\): من أجل كلّ \(x\) من \(\left]2-\dfrac{r}{3}\,;2+\dfrac{r}{3}\right[\) تنتمي \(f(x)\) إلى \(]5-r\,;5+r[\).

الخلاصة: كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(5\) يشمل كلّ قيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(2\)، إذن \(\lim\limits_{x\to 2}(3x-1) = 5\).

لاحظ: السؤال 1 حالة خاصّة من السؤال 2 مع \(r = 0{,}1\). والانتقال من العدد \(0{,}1\) إلى الرمز \(r\) هو بالضبط ما يحوّل تحقّقا إلى برهان.

مثال 2 — قيمة مطلقة: افصل الحالات

ادرس سلوك \(g(x) = \dfrac{\lvert x-2\rvert}{x-2}\) عند \(2\).

الحلّ

\(D_g = \mathbb{R}\setminus\{2\}\). نفصل الحالات حسب إشارة \(x-2\):

  • من أجل \(x > 2\):  \(\lvert x-2\rvert = x-2\)، إذن \(g(x) = 1\)، ومنه \(\lim\limits_{x\to 2^{+}} g(x) = 1\)؛
  • من أجل \(x < 2\):  \(\lvert x-2\rvert = -(x-2)\)، إذن \(g(x) = -1\)، ومنه \(\lim\limits_{x\to 2^{-}} g(x) = -1\).

النهايتان الجانبيتان مختلفتان، إذن ليس لـ \(g\) نهاية عند \(2\).

ملاحظة: هي نفسها دالة المثال المرجعي بعد انسحاب بمقدار \(2\)؛ والسلوك ينتقل معها من \(0\) إلى \(2\) دون تغيير.

مثال 3 — الدوال المرجعية: تحقّق من \(D_f\) أوّلا

عيّن، إن وُجدت:  \(\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{2x-1}{x^{2}-4}\)  و  \(\lim\limits_{x\to 0}\cos x\).

الحلّ

النهاية الأولى. الدالة \(h : x \mapsto \dfrac{2x-1}{x^{2}-4}\) دالة ناطقة، إذن مرجعية. ويُعدم مقامها لمّا \(x^{2} = 4\)، أي \(x = 2\) أو \(x = -2\)، ومنه \(D_h = \mathbb{R}\setminus\{-2\,;2\}\).

بما أنّ \(3 \in D_h\)، نطبّق الملاحظة:

\[\lim_{x\to 3}\frac{2x-1}{x^{2}-4} = h(3) = \frac{5}{5} = 1\]

النهاية الثانية. دالة جيب التمام مرجعية ومعرّفة على \(\mathbb{R}\)، و \(0 \in \mathbb{R}\)، إذن \(\lim\limits_{x\to 0}\cos x = \cos 0 = 1\).

المنهجية في سطرين: تحقّق أنّ الدالة مرجعية ← تحقّق أنّ \(a \in D_f\) ← عوّض. وإهمال الخطوة الثانية هو الخطأ الأكثر شيوعا في هذا الدرس.

مثال 4 — النهاية تختلف عن القيمة

لتكن \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R}\) بـ:

\[f(x) = \begin{cases} x^{2} & \text{إذا كان } x \neq 1 \\[4pt] 5 & \text{إذا كان } x = 1 \end{cases}\]

عيّن \(\lim\limits_{x\to 1} f(x)\)، ثمّ قارنها بـ \(f(1)\).

الحلّ

من أجل \(x\) قريب من \(1\) و \(x \neq 1\) لدينا \(f(x) = x^{2}\). وسلوك \(f\) حول \(1\) لا يتعلّق إلّا بهذه القيم، إذن:

\[\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1}x^{2} = 1\]

بينما \(f(1) = 5\).

النتيجة: \(\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 1 \neq 5 = f(1)\).

ولماذا لا تناقض هذا ملاحظة الدوال المرجعية ؟ لأنّ \(f\) ليست دالة مرجعية: هي دالة معرّفة بفرعين، عُدِّلت قيمتها عند نقطة واحدة. والملاحظة لا تُطبَّق إلّا على الدوال المرجعية.

الدرس المستفاد: تغيير قيمة دالة عند نقطة واحدة لا يغيّر نهايتها عند تلك النقطة، لأنّ التعريف لا ينظر إلّا إلى ما حول \(a\).

6. المنهجية: كيف نبرهن على نهاية منتهية عند \(a\) بالتعريف ؟

الخطوات الخمس

  1. ليكن \(r > 0\) عددا حقيقيا كيفيا (الدقّة المطلوبة على القيم).
  2. ترجمة الشرط: \(f(x) \in \,]\ell-r\,;\ell+r[\) يكافئ \(\lvert f(x)-\ell\rvert < r\).
  3. حلّ المتراجحة ذات المجهول \(x\)، بحصر \(\lvert f(x)-\ell\rvert\) بدلالة \(\lvert x-a\rvert\).
  4. إظهار \(\alpha\) بدلالة \(r\)، بحيث \(\lvert x-a\rvert < \alpha \implies \lvert f(x)-\ell\rvert < r\).
  5. الخلاصة اللفظية المطابقة لنصّ التعريف.

الخلاصة ليست تفصيلا

كما في الدرسين 1 و 2، البرهان الذي يتوقّف عند إيجاد \(\alpha\) دون كتابة الخلاصة يُعدّ ناقصا. الخلاصة هي ما يربط الحساب بالتعريف.

الحصر المحلّي: حيلة \(\alpha = \min(1\,;\ldots)\)

في الخطوة 3، قد يظهر عامل يتعلّق بـ \(x\) ولا يمكن حصره مباشرة. مثال: \(\lvert x^{2}-a^{2}\rvert = \lvert x-a\rvert \cdot \lvert x+a\rvert\)، فالعامل \(\lvert x+a\rvert\) متغيّر.

الحلّ: نقيّد \(x\) أوّلا في مجال صغير مضمون، مثلا \(\lvert x-a\rvert < 1\)، فنحصل على حصر ثابت للعامل المزعج: \(\lvert x+a\rvert < 1+2\lvert a\rvert\). ثمّ نأخذ:

\[\alpha = \min\left(1\,;\frac{r}{1+2\lvert a\rvert}\right)\]

فيتحقّق القيدان معا. وهذه الحيلة موضوع التمرين 26، وهي الأداة الأساسية في المستوى 4.

7. ما يجب أن تتذكّره

المفهوم الصياغة
التعريف كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\)
صياغة المسافات من أجل كلّ \(r>0\) يوجد \(\alpha>0\):  \(\lvert x-a\rvert < \alpha \implies \lvert f(x)-\ell\rvert < r\)
الرمزان \(r\) دقّة على القيم  ·  \(\alpha\) تحكّم في المتغيّر — لا تخلط بينهما
\(f(a)\) النهاية عند \(a\) لا تتعلّق بالقيمة \(f(a)\)، وقد توجد النهاية دون أن تكون \(f\) معرّفة عند \(a\)
المعيار النهاية موجودة \(\iff\) النهايتان الجانبيتان موجودتان ومتساويتان
الدوال المرجعية \(f\) مرجعية و \(a \in D_f\) \(\Rightarrow\) \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)\)
فخّ أساسي جدول القيم يُخمّن ولا يبرهن (\(\dfrac{\sin x}{x}\) عند \(0\))