انتقل إلى المحتوى

تمارين الدرس 2 — النهاية غير المنتهية عند ما لا نهاية

كيف تستعمل هذه الصفحة

التمارين مرتّبة في أربع مجموعات متدرّجة الصعوبة. في كلّ مجموعة تجد أوّلا كتلة «الفكرة المفتاحية والإرشادات»، ثمّ التمارين، ولكلّ تمرين جوابه مطويّ.

انصح نفسك: لا تفتح الجواب قبل محاولة جادّة، ثمّ افتح الإرشاد قبل الجواب.

الوسم المعنى
مستوى 1 تذكّر وفهم
مستوى 2 تطبيق مباشر
مستوى 3 تحليل وربط
مستوى 4 برهان وتركيب

اصطلاح الرموز في كلّ هذه الصفحة

\(M\) عتبة على القيم (نريد \(f(x) > M\) أو \(f(x) < M\))، و \(A\) عتبة على المتغيّر (من أجل كلّ \(x > A\) أو كلّ \(x < A\)).

المجموعة أ — التعرّف والتذكّر

الفكرة المفتاحية والإرشادات

الفكرة: شكل المجال هو ما يميّز النهاية \(+\infty\) عن النهاية \(-\infty\).

إرشاد 1: أمام كلّ حالة اسأل نفسك سؤالا واحدا: «هل نريد للقيم أن تتجاوز عتبة، أم أن تنزل تحت عتبة ؟» الجواب يعطيك شكل المجال فورا.

إرشاد 2: كلمة «كلّ» في «كلّ مجال» و«كلّ القيم» هي نفسها الحاسمة كما في الدرس 1؛ لم يتغيّر من التعريف إلّا شكل المجال.

تمرين 1 ملء فراغ مستوى 1

أكمل: «القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\) يعني أنّ ⋯ مجال من الشكل ⋯ (مع \(A\) عدد حقيقي) يشمل ⋯ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) ⋯ .»

الجواب

«... يعني أنّ كلّ مجال من الشكل \(]A\,;+\infty[\) (مع \(A\) عدد حقيقي) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) كبير بالقدر الكافي.»

تمرين 2 اختيار من متعدد مستوى 1

ماذا تعني بالضبط عبارة «الخاصية محقّقة من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي» ؟

  أ) الخاصية محقّقة من أجل كلّ عدد حقيقي \(x\).

  ب) الخاصية محقّقة من أجل قيم كبيرة عديدة لـ \(x\).

  ج) يوجد عدد حقيقي \(A\) بحيث تتحقّق الخاصية من أجل كلّ \(x > A\).

  د) توجد قيمة واحدة كبيرة لـ \(x\) تتحقّق عندها الخاصية.

الجواب

الجواب (ج).

  • (أ) أقوى ممّا يلزم: التعريف لا يقول شيئا عن سلوك الدالة من أجل القيم الصغيرة لـ \(x\).
  • (ب) و (د) أضعف ممّا يلزم: «قيم عديدة» أو «قيمة واحدة» لا تعنيان «كلّ القيم ابتداء من عتبة».

الفرق الحاسم: (ب) و(د) تسمحان للدالة بأن تعود وتخالف الخاصية بعد ذلك، و(ج) تمنع ذلك نهائيا.

تمرين 3 حساب مباشر مستوى 1

عيّن: \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2}\)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{2}\).

الجواب

\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2} = +\infty\)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{2} = +\infty\).

النهايتان متساويتان لأنّ الأسّ زوجي، فالقيم موجبة أيّا كانت إشارة \(x\).

تمرين 4 حساب مباشر مستوى 1

عيّن: \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{3}\)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{3}\).

الجواب

\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{3} = +\infty\)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{3} = -\infty\).

النهايتان مختلفتان لأنّ الأسّ فردي، فالقوّة تحتفظ بإشارة \(x\).

تمرين 5 حساب مباشر مستوى 1

عيّن مجموعة تعريف الدالة \(x \mapsto \sqrt{x}\)، ثمّ نهايتها عند \(+\infty\). ولماذا لا يُطرح السؤال عند \(-\infty\) ؟

الجواب

\(D_f = [0\,;+\infty[\)  و  \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x} = +\infty\).

السؤال عند \(-\infty\) بلا معنى، لأنّ \(D_f\) لا يشمل أيّ قيمة سالبة، فلا يمكن لـ \(x\) أن يؤول إلى \(-\infty\) داخل مجموعة التعريف.

قاعدة عامّة: قبل كتابة أيّ نهاية عند \(-\infty\)، تحقّق من أنّ مجموعة التعريف تشمل مجالا من الشكل \(]-\infty\,;B[\).

تمرين 6 صح / خطأ مستوى 1

«كلّ دالة غير محدودة من الأعلى على \(\mathbb{R}\) تقبل النهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\).»

الجواب

خطأ.

«غير محدودة من الأعلى» تعني أنّ القيم تتجاوز كلّ عتبة في مواضع ما؛ أمّا النهاية \(+\infty\) فتقتضي أن تتجاوزها كلّ القيم ابتداء من عتبة على \(x\).

مثال مضاد: \(f : x \mapsto x\sin^{2}x\) — تُدرس بالتفصيل في التمرين 23.

بالمقابل، الاتّجاه العكسي صحيح: كلّ دالة نهايتها \(+\infty\) عند \(+\infty\) غير محدودة من الأعلى (التمرين 26).

تمرين 7 ربط مستوى 1

اربط كلّ دالة بنهايتيها:

الدالة النهاية عند \(+\infty\) النهاية عند \(-\infty\)
\(x \mapsto x^{2}\) ⋯ ⋯
\(x \mapsto x^{3}\) ⋯ ⋯
\(x \mapsto \sqrt{x}\) ⋯ ⋯
\(x \mapsto -x^{2}\) ⋯ ⋯
الجواب
الدالة عند \(+\infty\) عند \(-\infty\)
\(x \mapsto x^{2}\) \(+\infty\) \(+\infty\)
\(x \mapsto x^{3}\) \(+\infty\) \(-\infty\)
\(x \mapsto \sqrt{x}\) \(+\infty\) السؤال بلا معنى (\(D_f = [0\,;+\infty[\))
\(x \mapsto -x^{2}\) \(-\infty\) \(-\infty\)

ملاحظة على السطر الأخير: ضرب الدالة في \(-1\) يقلب النهاية من \(+\infty\) إلى \(-\infty\)، ويقلب معها شكل المجال المستعمل في البرهان: من \(]M\,;+\infty[\) إلى \(]-\infty\,;M[\).

تمرين 8 اختيار من متعدد مستوى 1

حدّد، في كلّ حالة، شكل المجال الذي يستعمله التعريف: \(]M\,;+\infty[\) أم \(]-\infty\,;M[\) ؟

  1. \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\)
  2. \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty\)
  3. \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = +\infty\)
  4. \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty\)
الجواب
  1. \(]M\,;+\infty[\)    2. \(]-\infty\,;M[\)    3. \(]M\,;+\infty[\)    4. \(]-\infty\,;M[\)

القاعدة: شكل المجال يحدّده الطرف الأيسر من الكتابة (قيمة النهاية)، لا الطرف الذي يؤول إليه \(x\).

وما يحدّده الطرف الآخر (\(x \to +\infty\) أو \(x \to -\infty\)) هو جهة العتبة على \(x\): \(x > A\) في الحالتين 1 و 2، و \(x < A\) في الحالتين 3 و 4.

المجموعة ب — التطبيق المباشر

الفكرة المفتاحية والإرشادات

الفكرة: كلّ سؤال من نوع «أوجد \(A\)» هو في الحقيقة حلّ متراجحة، مع الانتباه إلى جهة العتبة على \(x\).

إرشاد 1: عند \(-\infty\) نبحث عن \(A\) بحيث تتحقّق الخاصية من أجل كلّ \(x < A\)، لا \(x > A\).

إرشاد 2: الدالة \(t \mapsto \sqrt{t}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\)، فمن أجل \(M > 0\) لدينا \(\sqrt{x} > M \iff x > M^{2}\).

إرشاد 3: الدالة \(x \mapsto x^{3}\) متزايدة تماما على \(\mathbb{R}\) كلّه، فلا تنقلب المتراجحة عند تطبيق الجذر التكعيبي.

خطوات نموذجية: ترجمة الشرط ← تحديد منحى التغيّر ← حلّ المتراجحة ← استخراج \(A\) ← الخلاصة.

تمرين 9 حلّ متراجحة مستوى 2

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(x^{2} > 10^{6}\).

الجواب

نبحث عن قيم \(x\) كبيرة، فنعمل من أجل \(x > 0\)؛ والدالة \(x \mapsto x^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\):

\[x^{2} > 10^{6} \iff x > \sqrt{10^{6}} = 10^{3}\]

الخلاصة: \(A = 1000\) يفي بالغرض.

تمرين 10 حلّ متراجحة مستوى 2

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(\sqrt{x} > 100\).

الجواب

الطرفان موجبان والدالة \(t \mapsto t^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\):

\[\sqrt{x} > 100 \iff x > 100^{2} = 10^{4}\]

الخلاصة: \(A = 10000\) يفي بالغرض.

تمرين 11 حلّ متراجحة مستوى 2

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x < A\) فإنّ \(x^{3} < -10^{9}\).

الجواب

الدالة \(x \mapsto x^{3}\) متزايدة تماما على \(\mathbb{R}\)، إذن:

\[x^{3} < -10^{9} \iff x < \sqrt[3]{-10^{9}} = -1000\]

الخلاصة: \(A = -1000\) يفي بالغرض.

انتبه: الشرط هنا \(x < A\) لأنّنا نشتغل عند \(-\infty\). ولم تنقلب المتراجحة، لأنّ التكعيب دالة متزايدة تماما — الذي تغيّر هو جهة العتبة فقط.

تمرين 12 حساب مباشر مستوى 2

اعتمادا على حالتَي \(x^{2}\) و \(x^{3}\)، عيّن نهايتَي \(x \mapsto x^{4}\) و \(x \mapsto x^{5}\) عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\)، مع التعليل.

الجواب
\[\lim_{x\to+\infty}x^{4} = +\infty \qquad \lim_{x\to-\infty}x^{4} = +\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}x^{5} = +\infty \qquad \lim_{x\to-\infty}x^{5} = -\infty\]

التعليل: الأسّ \(4\) زوجي، فـ \(x^{4} = (x^{2})^{2} \geq 0\) أيّا كانت إشارة \(x\)، وتتصرّف الدالة كـ \(x^{2}\). والأسّ \(5\) فردي، فـ \(x^{5}\) يحتفظ بإشارة \(x\)، وتتصرّف الدالة كـ \(x^{3}\).

تحقّق مباشر بالتعريف (من أجل \(x^{4}\) عند \(+\infty\)): لتكن \(M > 0\)؛ من أجل \(x > 0\) لدينا \(x^{4} > M \iff x > M^{\frac{1}{4}}\)، فنأخذ \(A = M^{\frac{1}{4}}\).

تمرين 13 قراءة جدول مستوى 2

الجدول الآتي يعطي قيم \(f(x) = 2x^{2}\):

\(x\) \(10\) \(10^{2}\) \(10^{3}\) \(10^{4}\)
\(f(x)\) \(200\) \(20\,000\) \(2\,000\,000\) \(200\,000\,000\)

خمّن نهاية \(f\) عند \(+\infty\)، ثمّ برّر تخمينك بالتعريف.

الجواب

التخمين: \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\).

التبرير بالتعريف: لتكن \(M > 0\) عتبة كيفية. من أجل \(x > 0\):

\[2x^{2} > M \iff x^{2} > \frac{M}{2} \iff x > \sqrt{\frac{M}{2}}\]

نضع \(A = \sqrt{\dfrac{M}{2}}\): من أجل كلّ \(x > A\) تنتمي \(f(x)\) إلى \(]M\,;+\infty[\).

الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}2x^{2} = +\infty\).

تنبيه: الجدول وحده ليس برهانا؛ فعدد منته من القيم لا يُثبت خاصية على مجال لانهائي. البرهان هو الحساب أعلاه.

تمرين 14 اختيار من متعدد مستوى 2

ما أصغر مجال من الشكل \(]A\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(x^{2}\) من أجل \(x > 50\) ؟

  أ) \(]50\,;+\infty[\)    ب) \(]2500\,;+\infty[\)    ج) \(]10^{4}\,;+\infty[\)    د) \(]0\,;+\infty[\)

الجواب

الجواب (ب).

من أجل \(x > 50 > 0\)، والدالة \(x \mapsto x^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\)، لدينا \(x^{2} > 50^{2} = 2500\). وبالعكس، تأخذ \(x^{2}\) قيما قريبة من \(2500\) بالقدر الذي نريد لمّا يقترب \(x\) من \(50\)، فالمجال \(]2500\,;+\infty[\) هو بالضبط مجموعة القيم المأخوذة.

  • (أ) و (د) يشملان كلّ القيم فعلا (فـ \(]2500\,;+\infty[\) محتوى فيهما)، لكنّهما أوسع ممّا يلزم، فليسا الأصغر.
  • (ج) خاطئ تماما: القيمة \(x = 60\) تعطي \(x^{2} = 3600 < 10^{4}\)، فالمجال لا يشمل كلّ القيم.

الفائدة من التمرين: التعريف يتطلّب وجود مجال مناسب، لا أصغره — تماما كما يتطلّب وجود عتبة \(A\) لا أصغرها. لكنّ التدرّب على تعيين الأصغر يصقل الدقّة في حلّ المتراجحات.

تمرين 15 رسم تخطيطي مستوى 2

ارسم منحنيا ممكنا لدالة \(f\) معرّفة على \(\mathbb{R}\) بحيث \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\) و \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty\).

عناصر التصحيح

يجب أن يُظهر الرسم:

  • فرعا يصعد بلا حدّ لمّا يكبر \(x\) (يتجاوز أيّ مستوى أفقي مرسوم على الورقة)؛
  • فرعا ينزل بلا حدّ لمّا يصغر \(x\) نحو \(-\infty\)؛
  • لا مقارب أفقي — وهو الخطأ الأكثر شيوعا في هذا الرسم.

أبسط مثال: \(f(x) = x^{3}\)، أو \(f(x) = x\). ويُقبل أن يتذبذب المنحني في المنطقة الوسطى، فالتعريف لا يشترط الرتابة.

تمرين 16 حلّ متراجحة مستوى 2

برهن أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}2\sqrt{x} = +\infty\)، بإيجاد \(A\) بدلالة \(M\).

الحلّ

لتكن \(M > 0\) عتبة كيفية (الحالة \(M \leq 0\) بديهية لأنّ \(2\sqrt{x} \geq 0\)).

\[2\sqrt{x} > M \iff \sqrt{x} > \frac{M}{2} \iff x > \frac{M^{2}}{4}\]

(التربيع مسموح لأنّ الطرفين موجبان والدالة \(t \mapsto t^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\).)

نضع \(A = \dfrac{M^{2}}{4}\).

الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(2\sqrt{x}\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}2\sqrt{x} = +\infty\).

تمرين 17 حساب مباشر مستوى 2

علّل لماذا لا يقبل منحني الدالة \(x \mapsto x^{2}\) مستقيما مقاربا أفقيا عند \(+\infty\).

الجواب

لنفترض بالخُلف وجود مقارب أفقي معادلته \(y = \ell\) عند \(+\infty\).

بحسب الدرس 1، هذا يعني بالضبط أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2} = \ell\)، أي أنّ النهاية منتهية.

لكنّنا نعلم أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2} = +\infty\)، ولا يمكن للنهاية أن تكون منتهية ولانهائية في آن واحد (التمرين 29).

الخلاصة: المنحني لا يقبل مقاربا أفقيا عند \(+\infty\).

قاعدة عامّة: نهاية لانهائية عند \(+\infty\) \(\Rightarrow\) لا مقارب أفقي عند \(+\infty\).

المجموعة ج — التحليل والربط

الفكرة المفتاحية والإرشادات

الفكرة: البرهان بالتعريف هنا: «لتكن \(M\) عتبة كيفية» ← ترجمة الشرط إلى متراجحة ← حلّها ← إظهار العتبة \(A\) بدلالة \(M\) ← الخلاصة اللفظية.

إرشاد 1: يمكن في حالة \(+\infty\) الاقتصار على \(M > 0\) إذا كانت الدالة موجبة، لأنّ الحالة \(M \leq 0\) محقّقة تلقائيا. صرّح بذلك في مطلع البرهان.

إرشاد 2: في حالة النهاية \(-\infty\)، اشتغل بالمجال \(]-\infty\,;M[\) وافترض \(M < 0\)، أو انتقل إلى الدالة \(-f\).

إرشاد 3: لا تخلط بين العتبتين: \(M\) على القيم، \(A\) على المتغيّر.

تمرين 18 برهان بالتعريف مستوى 3

\(g\) معرّفة على \([0\,;+\infty[\) بـ \(g(x) = \sqrt{x}\). برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = +\infty\).

الحلّ النموذجي

1. لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية. نفترض \(M > 0\)؛ وإلّا فالنتيجة بديهية، لأنّه لمّا تكون \(M \leq 0\) يتحقّق الشرط \(\sqrt{x} > M\) من أجل كلّ \(x > 0\)، إذ إنّ \(\sqrt{x} > 0 \geq M\).

2. المطلوب أن تنتمي \(g(x)\) إلى المجال \(]M\,;+\infty[\)، أي:

\[\sqrt{x} > M\]

3. الطرفان موجبان والدالة \(t \mapsto t^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\)، إذن بالتربيع:

\[\sqrt{x} > M \iff x > M^{2}\]

4. نضع \(A = M^{2}\). عندئذ من أجل كلّ \(x > A\) تنتمي \(g(x)\) إلى \(]M\,;+\infty[\).

5. الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(g(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن:

\[\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x} = +\infty\]

تحقّق عددي: من أجل \(M = 100\) نجد \(A = 10^{4}\)، وهو ما وجدناه في التمرين 10.

تمرين 19 برهان بالتعريف مستوى 3

برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2} = +\infty\)، بإيجاد \(A\) بدلالة \(M\).

الحلّ

لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية؛ نفترض \(M > 0\) (وإلّا فالنتيجة بديهية لأنّ \(x^{2} \geq 0\)).

نعمل من أجل \(x > 0\)، والدالة \(x \mapsto x^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\):

\[x^{2} > M \iff x > \sqrt{M}\]

نضع \(A = \sqrt{M}\): من أجل كلّ \(x > A\) تنتمي \(x^{2}\) إلى \(]M\,;+\infty[\).

الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(x^{2}\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2} = +\infty\).

تمرين 20 برهان بالتعريف مستوى 3

برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{3} = -\infty\)، مستعملا المجالات من الشكل \(]-\infty\,;M[\).

الحلّ

1. لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية؛ نفترض \(M < 0\) (وإلّا يكفي أخذ عتبة أصغر).

2. المطلوب أن تنتمي \(x^{3}\) إلى \(]-\infty\,;M[\)، أي \(x^{3} < M\).

3. الدالة \(x \mapsto x^{3}\) متزايدة تماما على \(\mathbb{R}\)، وتقبل دالة عكسية متزايدة تماما هي الجذر التكعيبي، إذن:

\[x^{3} < M \iff x < \sqrt[3]{M}\]

4. نضع \(A = \sqrt[3]{M}\). عندئذ من أجل كلّ \(x < A\) تنتمي \(x^{3}\) إلى \(]-\infty\,;M[\).

5. الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]-\infty\,;M[\) يشمل كلّ قيم \(x^{3}\) من أجل \(x\) سالب وكبير بالقدر الكافي في القيمة المطلقة، إذن \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{3} = -\infty\).

تحقّق عددي: من أجل \(M = -10^{9}\) نجد \(A = -1000\)، وهو ما وجدناه في التمرين 11.

تمرين 21 نقد استدلال مستوى 3

كتب تلميذ: «\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2} = +\infty\) لأنّ \(x^{2}\) يكبر كلّما كبر \(x\).»

ما مواطن الضعف في هذا الاستدلال ؟ اكتب برهانا صحيحا.

الجواب

مواطن الضعف:

  1. العبارة وصفية لا كمّية: «يكبر» لا تعني «يتجاوز كلّ عتبة». والدالة \(x \mapsto 2 - \dfrac{1}{x}\) مثلا تكبر كلّما كبر \(x\)، ومع ذلك نهايتها \(2\) لا \(+\infty\) !
  2. الاستدلال يستعمل منحى التغيّر مكان التعريف. التزايد وحده لا يعطي أيّ نهاية: قد تكون النهاية منتهية.

البرهان الصحيح: هو برهان التمرين 19 نفسه — لتكن \(M > 0\)؛ فإنّ \(x^{2} > M \iff x > \sqrt{M}\) من أجل \(x > 0\)، فنأخذ \(A = \sqrt{M}\)، ثمّ نكتب الخلاصة اللفظية.

ما الذي أضافه البرهان ؟ أنّه أظهر، من أجل كلّ عتبة \(M\) مهما كانت كبيرة، عتبة صريحة على \(x\) تضمن تجاوزها. وهذا ما لا يفعله وصف «يكبر».

تمرين 22 حساب مباشر مستوى 3

فسّر، بدلالة الإشارة وزوجية الأسّ، لماذا \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{2} = +\infty\) بينما \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{3} = -\infty\).

الجواب

ليكن \(x < 0\)، ونضع \(x = -|x|\) حيث \(|x| > 0\).

  • الأسّ الزوجي: \(x^{2} = (-|x|)^{2} = |x|^{2} > 0\). القوّة الزوجية تُلغي إشارة \(x\)، فالقيم موجبة وتكبر بلا حدّ لمّا يكبر \(|x|\). ومنه النهاية \(+\infty\).
  • الأسّ الفردي: \(x^{3} = (-|x|)^{3} = -|x|^{3} < 0\). القوّة الفردية ترث إشارة \(x\)، فالقيم سالبة وتنزل بلا حدّ. ومنه النهاية \(-\infty\).

الترجمة إلى لغة التعاريف: في الحالة الأولى نستعمل المجالات \(]M\,;+\infty[\)، وفي الثانية المجالات \(]-\infty\,;M[\). فزوجية الأسّ هي التي تحدّد أيّ تعريف من التعريفين نستعمل.

تعميم: من أجل \(n\) عددا طبيعيا غير معدوم، \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n} = +\infty\) إذا كان \(n\) زوجيا، و \(-\infty\) إذا كان فرديا (التمرين 28).

تمرين 23 مثال مضاد مستوى 3

\(f\) معرّفة على \(\mathbb{R}\) بـ \(f(x) = x\sin^{2}x\).

  1. بيّن أنّ \(f\) تأخذ قيما أكبر من أيّ عتبة نختارها.
  2. بيّن أنّه ليس لـ \(f\) النهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\).
  3. ماذا تستنتج ؟
الحلّ

1. من أجل \(x_k = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) (مع \(k\) عدد طبيعي) لدينا \(\sin x_k = 1\)، إذن \(\sin^{2}x_k = 1\) و:

\[f(x_k) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\]

ولتكن \(M\) عتبة كيفية: يكفي اختيار \(k\) بحيث \(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi > M\) ليكون \(f(x_k) > M\). إذن \(f\) غير محدودة من الأعلى.

2. من أجل \(x = k\pi\) لدينا \(\sin(k\pi) = 0\)، إذن:

\[f(k\pi) = k\pi \times 0 = 0\]

لنأخذ العتبة \(M = 10\)، والمجال الموافق \(]10\,;+\infty[\). لتكن \(A\) عتبة كيفية مقترحة على \(x\): يوجد دائما عدد طبيعي \(k\) بحيث \(k\pi > A\)، وعنده:

\[f(k\pi) = 0 \notin \,]10\,;+\infty[\]

إذن لا توجد أيّ عتبة \(A\) تجعل كلّ قيم \(f(x)\) داخل \(]10\,;+\infty[\) من أجل \(x > A\). فالتعريف غير محقّق، وليس لـ \(f\) النهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\).

3. الاستنتاج: «غير محدودة من الأعلى» لا تكافئ «نهايتها \(+\infty\)». الأولى تقول إنّ القيم تتجاوز كلّ عتبة في مواضع ما، والثانية تقول إنّها تتجاوزها كلّها ابتداء من عتبة. وهذا هو الفرق نفسه بين «بعض القيم» و«كلّ القيم» الذي واجهناه في الدرس 1.

تمرين 24 قراءة بيانية مستوى 3

إليك وصف ثلاثة منحنيات لدوال معرّفة على \([0\,;+\infty[\):

  • المنحني (1): يقترب كلّما كبر \(x\) من مستقيم أفقي يمرّ بالنقطة ذات الترتيب \(4\)، دون أن يبتعد عنه.
  • المنحني (2): يصعد باستمرار ويتجاوز أيّ مستوى أفقي مرسوم مهما علا.
  • المنحني (3): يتذبذب بين المستويين \(y = -1\) و \(y = 1\) بتذبذبات ثابتة الاتّساع مهما كبر \(x\).

في كلّ حالة: هل النهاية عند \(+\infty\) منتهية، أم لانهائية، أم غير موجودة ؟ وهل يوجد مقارب أفقي ؟

الجواب
المنحني النهاية عند \(+\infty\) مقارب أفقي
(1) منتهية تساوي \(4\) نعم: \(y = 4\)
(2) لانهائية تساوي \(+\infty\) لا
(3) غير موجودة لا

التعليلات:

  • (1) كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(4\) يشمل كلّ القيم ابتداء من عتبة ما: هذا تعريف الدرس 1، والمستقيم \(y = 4\) مقارب أفقي.
  • (2) القيم تتجاوز كلّ عتبة \(M\) ابتداء من عتبة على \(x\): هذا تعريف هذا الدرس. ووجود مقارب أفقي كان سيقتضي نهاية منتهية.
  • (3) لا هذا ولا ذاك. فلو كانت النهاية \(\ell\) لوجب أن يشمل المجال \(\left]\ell-\dfrac{1}{2}\,;\ell+\dfrac{1}{2}\right[\) — وطوله \(1\) — القيمتين \(-1\) و \(1\) معا، والمسافة بينهما \(2\): تناقض. ولو كانت \(+\infty\) لوجب أن تتجاوز القيم العتبة \(M = 2\) مثلا ابتداء من عتبة، وهي لا تتجاوزها أبدا.

الخلاصة: ثلاث حالات مختلفة تماما — نهاية منتهية، نهاية لانهائية، وانعدام النهاية. ولا تعني «غياب المقارب الأفقي» أنّ النهاية \(+\infty\).

تمرين 25 مسألة مركّبة مستوى 3

\(f\) معرّفة على \(\mathbb{R}\) بـ:

\[f(x) = \begin{cases} x^{3} & \text{إذا كان } x \leq 0 \\[4pt] \sqrt{x} & \text{إذا كان } x > 0 \end{cases}\]
  1. تحقّق من انسجام التعريف عند \(0\).
  2. عيّن \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)\) و \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)\)، مع تحديد التعريف المستعمل في كلّ حالة.
  3. أوجد \(A\) بحيث \(x > A \Rightarrow f(x) > 10^{3}\).
الحلّ

1. الفرعان يعطيان القيمة نفسها عند \(0\): \(0^{3} = 0\) و \(\sqrt{0} = 0\)، فالتعريف منسجم.

2. كلّ نهاية عند اللانهاية لا تعنيها إلّا الفرع الموافق لها:

  • عند \(+\infty\): لا يعنينا إلّا الفرع \(x > 0\)، أي \(f(x) = \sqrt{x}\)، ومنه \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\). التعريف المستعمل: المجالات \(]M\,;+\infty[\) مع عتبة \(x > A\).
  • عند \(-\infty\): لا يعنينا إلّا الفرع \(x \leq 0\)، أي \(f(x) = x^{3}\)، ومنه \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty\). التعريف المستعمل: المجالات \(]-\infty\,;M[\) مع عتبة \(x < A\).

الفائدة من التمرين: النهاية عند \(+\infty\) خاصّية محلّية عند اللانهاية: لا تتعلّق إلّا بسلوك الدالة من أجل \(x\) كبير، ولا شأن لها بما يحدث على \(]-\infty\,;0]\)، والعكس بالعكس.

3. من أجل \(x > 0\) لدينا \(f(x) = \sqrt{x}\)، والشرط \(\sqrt{x} > 10^{3}\) يكافئ \(x > 10^{6}\).

الخلاصة: \(A = 10^{6}\) يفي بالغرض.

المجموعة د — البرهان والتركيب

الفكرة المفتاحية والإرشادات

الفكرة: التعميم ووحدانية النهاية ينبعان من البنية المشتركة للتعاريف، لا من حسابات جديدة.

إرشاد 1 (التمرين 27): من أجل \(x > 1\) لدينا \(x^{n} \geq x\)؛ فتكفي العتبة \(A = \max(1\,;M)\) دون أيّ جذر نوني.

إرشاد 2 (التمرين 29): إذا كانت النهايتان \(\ell\) و \(+\infty\) معا، فخذ المجالين \(]\ell-1\,;\ell+1[\) و \(]\ell+1\,;+\infty[\)، ولاحظ أنّهما منفصلان.

إرشاد 3: عند البرهان بالخُلف، لا تنس أنّ عتبتين \(A_1\) و \(A_2\) تُجمعان بأخذ \(\max(A_1\,;A_2)\).

تمرين 26 برهان بالتعريف مستوى 4

  1. برهن أنّه إذا كان \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\) فإنّ \(f\) غير محدودة من الأعلى.
  2. بيّن أنّ العكس خاطئ.
الحلّ

1. لنفترض \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\)، ولنبرهن بالخُلف: نفترض أنّ \(f\) محدودة من الأعلى، أي يوجد عدد حقيقي \(K\) بحيث \(f(x) \leq K\) من أجل كلّ \(x\) من مجموعة التعريف.

نطبّق التعريف على العتبة \(M = K\): يوجد عدد حقيقي \(A\) بحيث تنتمي كلّ قيم \(f(x)\) إلى \(]K\,;+\infty[\) من أجل كلّ \(x > A\)، أي:

\[f(x) > K \quad \text{من أجل كلّ } x > A\]

وهذا يناقض \(f(x) \leq K\) من أجل كلّ \(x\).

الخلاصة: \(f\) غير محدودة من الأعلى.

2. العكس خاطئ، والمثال المضاد هو نفسه مثال التمرين 23: الدالة \(f : x \mapsto x\sin^{2}x\) غير محدودة من الأعلى، وليست لها النهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\).

ما الذي يفرّق بين المفهومين ؟ ترتيب المكمّمات:

العبارة صياغتها
غير محدودة من الأعلى من أجل كلّ \(M\)، يوجد \(x\) بحيث \(f(x) > M\)
نهايتها \(+\infty\) من أجل كلّ \(M\)، يوجد \(A\) بحيث من أجل كلّ \(x > A\): \(f(x) > M\)

الثانية أقوى: تفرض الشرط على كلّ القيم بعد العتبة، لا على قيمة واحدة.

تمرين 27 برهان بالتعريف مستوى 4

\(n\) عدد طبيعي غير معدوم. برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n} = +\infty\).

الحلّ

لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية؛ نفترض \(M > 0\) (وإلّا فالنتيجة بديهية من أجل \(x > 0\)).

الفكرة: بدل حلّ المتراجحة \(x^{n} > M\) بالجذر النوني، نستعمل تأطيرا أبسط.

من أجل \(x > 1\) لدينا \(x^{n} \geq x\)، لأنّ ضرب عدد أكبر من \(1\) في نفسه \(n\) مرّة لا يُصغّره. وبدقّة: \(x^{n} = x \times x^{n-1}\) و \(x^{n-1} \geq 1\) لمّا \(x \geq 1\)، إذن \(x^{n} \geq x\).

نضع \(A = \max(1\,;M)\). عندئذ من أجل كلّ \(x > A\):

  • \(x > 1\)، إذن \(x^{n} \geq x\)؛
  • \(x > M\).

ومنه \(x^{n} \geq x > M\)، أي \(x^{n} \in \,]M\,;+\infty[\).

الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(x^{n}\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n} = +\infty\).

ملاحظة منهجية: العتبة \(A = \max(1\,;M)\) ليست أصغر عتبة ممكنة (فالجذر النوني \(M^{\frac{1}{n}}\) يعطي أصغر منها)، لكنّ التعريف يتطلّب وجود عتبة لا أصغرها. اختيار العتبة الأسهل برهانا هو الاختيار الجيّد.

تمرين 28 تعميم مستوى 4

\(n\) عدد طبيعي غير معدوم. عيّن \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n}\) حسب زوجية \(n\)، ثمّ برهن على النتيجة بالتعريف.

الحلّ

النتيجة:

\[\lim_{x\to-\infty}x^{n} = \begin{cases} +\infty & \text{إذا كان } n \text{ زوجيا} \\[4pt] -\infty & \text{إذا كان } n \text{ فرديا} \end{cases}\]

نضع، من أجل \(x < 0\)، \(\;x = -|x|\)، ومنه \(x^{n} = (-1)^{n}|x|^{n}\).

الحالة 1: \(n\) زوجي. عندئذ \((-1)^{n} = 1\) و \(x^{n} = |x|^{n}\).

لتكن \(M > 0\). نضع \(A = -\max(1\,;M)\). من أجل كلّ \(x < A\) لدينا \(|x| > \max(1\,;M)\)، ومنه (كما في التمرين 27) \(|x|^{n} \geq |x| > M\)، أي \(x^{n} \in \,]M\,;+\infty[\).

الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(x^{n}\) من أجل \(x\) سالب وكبير بالقدر الكافي في القيمة المطلقة، إذن \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n} = +\infty\).

الحالة 2: \(n\) فردي. عندئذ \((-1)^{n} = -1\) و \(x^{n} = -|x|^{n}\).

لتكن \(M < 0\). نضع \(A = -\max(1\,;-M)\). من أجل كلّ \(x < A\) لدينا \(|x| > \max(1\,;-M)\)، ومنه \(|x|^{n} \geq |x| > -M\)، أي:

\[x^{n} = -|x|^{n} < M\]

الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]-\infty\,;M[\) يشمل كلّ قيم \(x^{n}\) من أجل \(x\) سالب وكبير بالقدر الكافي في القيمة المطلقة، إذن \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{n} = -\infty\).

تحقّق: من أجل \(n = 2\) نجد \(+\infty\)، ومن أجل \(n = 3\) نجد \(-\infty\) — مطابق للنهايات المرجعية.

تمرين 29 برهان بالتعريف مستوى 4

برهن أنّه لا يمكن لدالة \(f\) أن تقبل في آن واحد نهاية منتهية \(\ell\) ونهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\).

الحلّ

البرهان بالخُلف. نفترض أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell\) (مع \(\ell\) عدد حقيقي) و \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\) في آن واحد.

الخطوة 1 — استغلال النهاية المنتهية. نطبّق تعريف الدرس 1 على المجال المفتوح \(]\ell-1\,;\ell+1[\)، وهو مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\): يوجد عدد حقيقي \(A_1\) بحيث:

\[x > A_1 \implies f(x) < \ell + 1\]

الخطوة 2 — استغلال النهاية اللانهائية. نطبّق تعريف هذا الدرس على العتبة \(M = \ell+1\)، أي المجال \(]\ell+1\,;+\infty[\): يوجد عدد حقيقي \(A_2\) بحيث:

\[x > A_2 \implies f(x) > \ell + 1\]

الخطوة 3 — جمع العتبتين. نضع \(A = \max(A_1\,;A_2)\)، ولنأخذ عددا \(x_0 > A\) (وهو موجود لأنّ \(\mathbb{R}\) غير محدود من الأعلى). عندئذ يتحقّق الشرطان معا:

\[f(x_0) < \ell + 1 \qquad \text{و} \qquad f(x_0) > \ell + 1\]

وهذا تناقض، إذ لا يمكن لعدد حقيقي أن يكون أصغر من \(\ell+1\) وأكبر منه في آن واحد.

الخلاصة: الافتراض باطل؛ فلا يمكن لدالة أن تقبل نهاية منتهية ونهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\) معا.

نتيجة مباشرة: إذا كانت \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\)، فإنّ منحني \(f\) لا يقبل مقاربا أفقيا عند \(+\infty\) — وهو ما استعملناه في التمرين 17.

تمرين 30 تحدٍّ مستوى 4

  1. صغ بنفسك، بلغة المجالات، تعريف «للدالة \(f\) النهاية \(-\infty\) عند \(-\infty\)».
  2. طبّقه على الدالة \(x \mapsto x^{3}\) ببرهان كامل.
  3. ما الذي تغيّر بالضبط في النصّ مقارنة بالتعاريف الثلاثة الأخرى ؟
الحلّ

1. الصياغة:

تعريف

القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(-\infty\) عند \(-\infty\) يعني أنّ كلّ مجال من الشكل \(]-\infty\,;M[\) (مع \(M\) عدد حقيقي) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) سالب وكبير بالقدر الكافي في القيمة المطلقة.

وبصياغة العتبات: من أجل كلّ عتبة \(M\)، يوجد عدد حقيقي \(A\) بحيث \(x < A \implies f(x) < M\).

2. التطبيق على \(x \mapsto x^{3}\): هو بالضبط برهان التمرين 20:

لتكن \(M < 0\)؛ الدالة التكعيبية متزايدة تماما على \(\mathbb{R}\)، إذن \(x^{3} < M \iff x < \sqrt[3]{M}\). نضع \(A = \sqrt[3]{M}\)، فمن أجل كلّ \(x < A\) تنتمي \(x^{3}\) إلى \(]-\infty\,;M[\).

الخلاصة: \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^{3} = -\infty\).

3. ما الذي تغيّر ؟ عنصران اثنان لا غير، وهما مستقلّان تماما:

العنصر يحدّده القيمة هنا
شكل المجال قيمة النهاية \(-\infty\) \(\Rightarrow\) \(]-\infty\,;M[\)
جهة العتبة على \(x\) ما يؤول إليه \(x\) \(x \to -\infty\) \(\Rightarrow\) \(x < A\)

الدرس المستفاد: التعاريف الأربعة ليست أربع قواعد تُحفظ، بل قالب واحد بخانتين تُملآن. وهذه الملاحظة هي التي ستسمح لك في الدرس 3 بتوقّع صياغة التعاريف عند عدد حقيقي \(a\) قبل أن تقرأها.