انتقل إلى المحتوى

الاختبار القصير — الدرس 1

التعليمات

المدّة: 10 دقائق  ·  العلامة: 10 نقاط  ·  الأدوات: بدون آلة حاسبة

أجب عن البنود الخمسة، ثمّ افتح المفتاح في آخر الصفحة للتصحيح الذاتي.

البند 1  ملء فراغ 2 ن

أكمل نصّ التعريف:

«القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(\ell\) عند \(+\infty\) يعني أنّ ⋯ مجال ⋯ شامل للعدد \(\ell\) يشمل ⋯ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) ⋯ .»

البند 2  حساب مباشر 2 ن

عيّن: \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x-4}\)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x^{2}}\).

البند 3  قراءة بيانية 2 ن

منحني دالة \(w\) يقترب لمّا يكبر \(x\) من مستقيم أفقي يمرّ بالنقطة ذات الترتيب \(-3\).

اكتب النهاية الموافقة، ثمّ عيّن معادلة المقارب الأفقي.

البند 4  حلّ متراجحة 2 ن

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(\dfrac{1}{x} < 0{,}002\).

البند 5  برهان بالتعريف 2 ن

برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = 1\).

مفتاح التصحيح — لا تفتحه قبل إنهاء الإجابة

البند 1 (2 ن) — «... يعني أنّ كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) كبير بالقدر الكافي.»

التوزيع: نصف نقطة لكلّ كلمة صحيحة. الكلمتان الحاسمتان هما «كلّ» في الموضعين.

البند 2 (2 ن) — \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x-4} = 0\)  (1 ن)  و  \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x^{2}} = 0\)  (1 ن).

البند 3 (2 ن) — \(\lim\limits_{x\to+\infty} w(x) = -3\)  (1 ن)؛ والمستقيم ذو المعادلة \(y = -3\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\)  (1 ن).

تُخصم نصف نقطة على كتابة «المقارب هو \(-3\)» بدل «المقارب هو المستقيم ذو المعادلة \(y=-3\)».

البند 4 (2 ن) — نفترض \(x > 0\)، فيكون الطرفان موجبين وبالقلب:

\[\frac{1}{x} < 0{,}002 \iff x > \frac{1}{0{,}002} = 500\]

إذن \(A = 500\) يفي بالغرض.

تُقبل كلّ قيمة \(A \geq 500\)، لأنّ التعريف يتطلّب وجود عتبة لا أصغرها.

البند 5 (2 ن) — ليكن \(r > 0\). من أجل \(x > 0\):

\[\left|\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1\right| = \frac{1}{x} < r \iff x > \frac{1}{r}\]

نضع \(A = \dfrac{1}{r}\).  (1,5 ن)

الخلاصة: كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(1\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي، إذن \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right) = 1\).  (0,5 ن)

شرط منح العلامة كاملة

لا تُمنح النقطة الأخيرة في غياب الخلاصة اللفظية المطابقة لنصّ التعريف. البرهان الذي يتوقّف عند إيجاد \(A\) ناقص.

سلّم التقدير وما تفعله بعد التصحيح
العلامة التقدير ما ينبغي فعله
\(8\) – \(10\) ممتاز انتقل إلى الدرس 2
\(6\) – \(7{,}5\) جيد راجع تمارين المجموعة ج
\(4\) – \(5{,}5\) مقبول أعد قراءة التعريف وأنجز تمارين المجموعتين أ و ب
\(< 4\) يستوجب دعما أعد الدرس من البداية مع الأمثلة المحلولة