انتقل إلى المحتوى

الاختبار القصير — الدرس 4

التعليمات

المدّة: 10 دقائق  ·  العلامة: 10 نقاط  ·  الأدوات: بدون آلة حاسبة

أجب عن البنود الخمسة، ثمّ افتح المفتاح في آخر الصفحة للتصحيح الذاتي.

البند 1  ملء فراغ 2 ن

أكمل نصّ التعريف:

«\(a\) عدد حقيقي. القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(+\infty\) عند \(a\) يعني أنّ ⋯ مجال من الشكل ⋯ يشمل ⋯ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) ⋯ .»

البند 2  حساب مباشر 2 ن

عيّن: \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}}\)  و  \(\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{-1}{(x-5)^{2}}\).

البند 3  مسألة مركّبة 2 ن

\(f\) معرّفة على \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) بـ \(f(x) = \dfrac{1}{x-3}\).

ادرس النهايتين الجانبيتين عند \(3\) واستنتج.

البند 4  حلّ متراجحة 2 ن

عيّن مجالا حول \(2\) يضمن \(\dfrac{1}{(x-2)^{2}} > 10^{4}\).

البند 5  برهان بالتعريف 2 ن

برهن باستعمال التعريف أنّ \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}} = +\infty\).

مفتاح التصحيح — لا تفتحه قبل إنهاء الإجابة

البند 1 (2 ن) — «... يعني أنّ كلّ مجال من الشكل \(]A\,;+\infty[\) (مع \(A\) عدد حقيقي) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(a\).»

التوزيع: نصف نقطة لكلّ فراغ صحيح.

الأخطاء الأكثر كلفة: كتابة المجال \(]-\infty\,;B[\) بدل \(]A\,;+\infty[\) (خصم نقطة كاملة — الشكل هو ما يميّز \(+\infty\) عن \(-\infty\))، أو استبدال «كلّ» بـ «يوجد» في أيّ من الموضعين (خصم نقطة كاملة).

البند 2 (2 ن) — \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}} = +\infty\)  (1 ن)  و  \(\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{-1}{(x-5)^{2}} = -\infty\)  (1 ن).

التبرير المنتظر: في الحالتين المقام \((x-a)^{2}\) موجب تماما من أجل \(x \neq a\) (أسّ زوجي)، فالسلوك واحد من الجهتين وتوجد النهاية. والإشارة تحدّدها إشارة البسط: موجب في الأولى، سالب في الثانية.

البند 3 (2 ن) — ندرس إشارة \(x-3\) على جانبي \(3\):

  • من أجل \(x > 3\):  \(x-3 > 0\) ويؤول إلى \(0\)، إذن \(\lim\limits_{x\to 3^{+}} f(x) = +\infty\)  (0,5 ن)
  • من أجل \(x < 3\):  \(x-3 < 0\) ويؤول إلى \(0\)، إذن \(\lim\limits_{x\to 3^{-}} f(x) = -\infty\)  (0,5 ن)

الاستنتاج: النهايتان الجانبيتان مختلفتان، إذن ليس للدالة \(f\) نهاية عند \(3\).  (1 ن)

لا تُمنح نقطة الاستنتاج لمن كتب «النهاية \(+\infty\)» أو اكتفى بإحدى النهايتين الجانبيتين. والأسّ هنا فردي، فالمقام يغيّر إشارته.

البند 4 (2 ن) — الطرفان موجبان تماما (من أجل \(x \neq 2\))، فبالقلب:

\[\frac{1}{(x-2)^{2}} > 10^{4} \iff (x-2)^{2} < 10^{-4} \iff \lvert x-2\rvert < 10^{-2}\]

الخلاصة: المجال \(]1{,}99\,;2{,}01[\) ماعدا \(2\).  (1,5 ن للحساب، 0,5 ن لكتابة المجال مع الاستثناء)

تُقبل كلّ إجابة بمجال محتوى في \(]1{,}99\,;2{,}01[\)، لأنّ المطلوب وجود مجال مناسب لا أوسعه.

الخطأ الأكثر كلفة في هذا البند

نسيان قلب اتّجاه المتراجحة وكتابة \((x-2)^{2} > 10^{-4}\): النتيجة تصبح معكوسة تماما (مجال بعيد عن \(2\) بدل مجال حوله). تُخصم نقطة كاملة.

البند 5 (2 ن) — لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية؛ نفترض \(M > 0\) (وإلّا فالنتيجة بديهية لأنّ \(\dfrac{1}{x^{2}} > 0\)).  (0,5 ن)

الطرفان موجبان تماما من أجل \(x \neq 0\)، إذن بالقلب:

\[\frac{1}{x^{2}} > M \iff x^{2} < \frac{1}{M} \iff \lvert x\rvert < \frac{1}{\sqrt{M}}\]

نضع \(\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{M}}\).  (1 ن للحساب وإظهار \(\alpha\) بدلالة \(M\))

الخلاصة: كلّ مجال من الشكل \(]M\,;+\infty[\) يشمل كلّ قيم \(\dfrac{1}{x^{2}}\) من أجل \(x\) قريب بالقدر الكافي من \(0\)، إذن \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}} = +\infty\).  (0,5 ن)

لا تُمنح نقطة الخلاصة لمن توقّف عند إيجاد \(\alpha\): الخلاصة هي ما يربط الحساب بنصّ التعريف.

ولا تُمنح نقطة الحساب كاملة لمن أعطى \(\alpha\) عدديا بدل إعطائه بدلالة \(M\)، لأنّ عتبة واحدة لا تبرهن على شيء.

سلّم التقدير وما تفعله بعد التصحيح
العلامة التقدير ما ينبغي فعله
\(8\) – \(10\) ممتاز انتقل إلى الدرس 5
\(6\) – \(7{,}5\) جيد راجع تمارين المجموعة ج، خاصّة 20 و 21 و 22
\(4\) – \(5{,}5\) مقبول أعد قراءة قاعدة زوجية الأسّ وأنجز تمارين المجموعتين أ و ب
\(< 4\) يستوجب دعما أعد الدرس من البداية مع الأمثلة المحلولة