انتقل إلى المحتوى

الدرس 1 — النهاية المنتهية عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\)

أهداف الدرس

في نهاية هذا الدرس تكون قادرا على أن:

  • تصوغ تعريف النهاية المنتهية عند \(+\infty\) بلغة المجالات صياغة دقيقة؛
  • تنقل التعريف إلى الحالة \(x \to -\infty\)؛
  • تستعمل الترميز \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell\) وتقرأه لفظا؛
  • تفسّر النتيجة هندسيا بوجود مستقيم مقارب أفقي معادلته \(y = \ell\)؛
  • تستظهر النهايات المرجعية وتوظّفها.

1. وضعية الانطلاق

لنأخذ الدالة \(f\) المعرفة على \(]0\,;+\infty[\) بـ \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)، ولنحسب بعض قيمها:

\(x\) \(10\) \(10^{2}\) \(10^{3}\) \(10^{6}\)
\(f(x)\) \(0{,}1\) \(0{,}01\) \(0{,}001\) \(0{,}000001\)

نلاحظ أنّ قيم \(f(x)\) تقترب من \(0\) كلّما كبر \(x\). لكنّ عبارة «تقترب من \(0\)» عبارة غامضة، والسؤال الدقيق هو:

السؤال المحوري

هل يمكن جعل \(f(x)\) داخل المجال \(]-0{,}001\,;0{,}001[\) ؟ وابتداء من أيّ قيمة لـ \(x\) ؟

الجواب: نحلّ المتراجحة \(\dfrac{1}{x} < 0{,}001\) فنجد \(x > 1000\).

إذن، ابتداء من \(1000\)، كلّ قيم \(f(x)\) تقع داخل هذا المجال. والأهمّ أنّ هذا يبقى ممكنا مهما كان المجال المختار حول \(0\)، مهما كان ضيّقا. هذه بالضبط هي الفكرة التي يترجمها التعريف الآتي.

2. التعريف

تعريف

\(\ell\) عدد حقيقي.

القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(\ell\) عند \(+\infty\) يعني أنّ كلّ مجال مفتوح شامل للعدد \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) كبير بالقدر الكافي.

انتبه إلى الكلمتين الحاسمتين في هذا النصّ:

  • «كلّ مجال» — لا يكفي أن يتحقّق الشرط من أجل مجال واحد؛
  • «كلّ القيم» — لا يكفي أن تدخل بعض القيم إلى المجال.
ماذا تعني «من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي» ؟

تعني: يوجد عدد حقيقي \(A\) بحيث تتحقّق الخاصية من أجل كلّ \(x > A\).

لاحظ أنّنا نطلب وجود عتبة \(A\) فقط، ولا نطلب أصغرها. فإذا صلحت \(A = 1000\) صلحت كذلك \(A = 5000\).

3. الترميز والمصطلحات

نكتب:

\[\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell\]

ونقول أنّ \(f(x)\) يؤول إلى \(\ell\) لمّا \(x\) يؤول إلى \(+\infty\).

خطأ شائع

الكتابة \(f(+\infty) = \ell\) خاطئة، لأنّ \(+\infty\) ليس عددا حقيقيا، فلا يمكن أن يكون صورة بالدالة \(f\).

التفسير الهندسي: المستقيم المقارب الأفقي

في معلَم، المستقيم ذو المعادلة \(y = \ell\) هو مستقيم مقارب أفقي لمنحني الدالة \(f\) عند \(+\infty\).

خطأ شائع

كون المستقيم \(y = \ell\) مقاربا أفقيا لا يمنع المنحني من قطعه، بل قد يقطعه عددا لا نهائيا من المرّات.

مثال: منحني الدالة \(x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}\) يقترب من المستقيم \(y = 0\) عند \(+\infty\)، ويقطعه عند كلّ عدد من الشكل \(k\pi\).

تنبيه

نعرّف بطريقة مماثلة النهاية لدالة \(f\) عند \(-\infty\)، ونكتب حينئذ \(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = \ell\).

4. النهايات المرجعية

هذه النهايات تُستظهر وتُوظَّف مباشرة:

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-a} = 0\]
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}} = 0 \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{(x-a)^{p}} = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}} = 0\]

قراءة موحّدة

كلّ هذه الدوال من الشكل «واحد على مقدار يكبر بلا حدّ»، ونهايتها جميعا \(0\). وفي كلّ حالة يكون المستقيم \(y = 0\) (أي محور الفواصل) مقاربا أفقيا للمنحني.

انتبه إلى مجموعة التعريف: السؤال عن \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) بلا معنى، لأنّ \(D_f = \,]0\,;+\infty[\).

5. أمثلة محلولة

مثال 1 — توظيف مباشر

عيّن نهاية الدالة \(f : x \mapsto \dfrac{1}{x-3}\) عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\)، ثمّ استنتج معادلة المقارب الأفقي.

الحلّ

الدالة من الشكل المرجعي \(\dfrac{1}{x-a}\) مع \(a = 3\)، إذن:

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-3} = 0 \qquad \text{و} \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-3} = 0\]

وبما أنّ النهايتين منتهيتان وتساويان \(0\)، فإنّ المستقيم ذا المعادلة \(y = 0\) مقارب أفقي للمنحني عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\).

مثال 2 — إيجاد عتبة \(A\)

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(\dfrac{1}{x} \in \,]-0{,}01\,;0{,}01[\).

الحلّ

نبحث عن قيم \(x\) كبيرة، فنفترض \(x > 0\)؛ عندئذ \(\dfrac{1}{x} > 0\) والشرط يصبح:

\[\frac{1}{x} < 0{,}01\]

الطرفان موجبان، فبالقلب:

\[x > \frac{1}{0{,}01} = 100\]

الخلاصة: العدد \(A = 100\) يفي بالغرض.

مثال 3 — تمهيد لدالة ناطقة

لتكن \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R} - \left\{-\dfrac{3}{2}\right\}\) بـ \(f(x) = \dfrac{4x-5}{2x+3}\). تحقّق من أنّ \(f(x) - 2 = \dfrac{-11}{2x+3}\)، ثمّ خمّن نهاية \(f\) عند \(+\infty\).

الحلّ

بتوحيد المقامات:

\[f(x) - 2 = \frac{4x-5}{2x+3} - 2 = \frac{4x-5-2(2x+3)}{2x+3} = \frac{4x-5-4x-6}{2x+3} = \frac{-11}{2x+3}\]

لمّا يكبر \(x\) يكبر المقام \(2x+3\) بلا حدّ، فيؤول الكسر \(\dfrac{-11}{2x+3}\) إلى \(0\)، ومنه نخمّن أنّ:

\[\lim_{x\to+\infty} f(x) = 2\]

وسنبرهن على ذلك بالتعريف في التمارين وفي الدرس 5.

6. المنهجية: كيف نبرهن على نهاية منتهية بالتعريف ؟

الخطوات الخمس

  1. ليكن \(r > 0\) عددا حقيقيا كيفيا (هو نصف سعة المجال حول \(\ell\)).
  2. ترجمة الشرط: \(f(x) \in \,]\ell-r\,;\ell+r[\) يكافئ \(|f(x) - \ell| < r\).
  3. تبسيط الفرق \(f(x) - \ell\).
  4. حلّ المتراجحة لإظهار عتبة \(A\) بدلالة \(r\).
  5. الخلاصة اللفظية المطابقة لنصّ التعريف.

الخلاصة ليست تفصيلا

البرهان الذي يتوقّف عند إيجاد \(A\) دون كتابة الخلاصة يُعدّ ناقصا. الخلاصة هي ما يربط الحساب بالتعريف.

7. ما يجب أن تتذكّره

المفهوم الصياغة
التعريف كلّ مجال مفتوح شامل لـ \(\ell\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي
الترميز \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell\) — والكتابة \(f(+\infty)\) خاطئة
المقارب الأفقي \(y = \ell\)، وقد يقطعه المنحني
العتبة \(A\) يكفي وجودها؛ لا يُطلب أصغرها
النهايات المرجعية \(\dfrac{1}{x}\)، \(\dfrac{1}{x-a}\)، \(\dfrac{1}{x^{2}}\)، \(\dfrac{1}{(x-a)^{p}}\)، \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) نهاياتها كلّها \(0\)