انتقل إلى المحتوى

الدرس 2 — النهاية غير المنتهية عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\)

أهداف الدرس

في نهاية هذا الدرس تكون قادرا على أن:

  • تصوغ تعريف \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\) بالمجالات من الشكل \(]A\,;+\infty[\)؛
  • تصوغ تعريف \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty\) بالمجالات من الشكل \(]-\infty\,;B[\)؛
  • تنقل التعريفين إلى الحالة \(x \to -\infty\)؛
  • تستظهر النهايات المرجعية لـ \(x^{2}\) و \(x^{3}\) و \(\sqrt{x}\) وتعلّلها بدلالة الأسّ ومجموعة التعريف؛
  • تميّز بين «دالة غير محدودة» و«دالة نهايتها \(+\infty\)».

1. وضعية الانطلاق

لنأخذ الدالة \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R}\) بـ \(f(x) = x^{2}\)، ولنحسب بعض قيمها:

\(x\) \(10\) \(10^{3}\) \(10^{6}\)
\(f(x)\) \(10^{2}\) \(10^{6}\) \(10^{12}\)

في الدرس 1 كانت القيم تتجمّع حول عدد حقيقي، فسألنا: «هل تدخل كلّ القيم إلى مجال حول \(\ell\) ؟». هنا الوضع معكوس تماما: القيم تهرب ولا تتجمّع حول أيّ عدد. فالسؤال الملائم يتغيّر:

السؤال المحوري

هل يمكن جعل \(f(x)\) يتجاوز أيّ عتبة نختارها مهما كانت كبيرة ؟ ابتداء من أيّ قيمة لـ \(x\) يكون \(x^{2} > 10^{12}\) ؟

الجواب: نحلّ المتراجحة \(x^{2} > 10^{12}\) من أجل \(x > 0\) فنجد \(x > 10^{6}\).

إذن، ابتداء من \(10^{6}\)، كلّ قيم \(f(x)\) تتجاوز \(10^{12}\)، أي أنّها كلّها تقع داخل المجال \(\left]10^{12}\,;+\infty\right[\). والأهمّ أنّ هذا يبقى ممكنا مهما كانت العتبة المختارة، مهما كانت كبيرة. هذه بالضبط هي الفكرة التي يترجمها التعريف الآتي.

2. التعريف الأوّل — النهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\)

تعريف

القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\) يعني أنّ كلّ مجال من الشكل \(]A\,;+\infty[\) (مع \(A\) عدد حقيقي) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) كبير بالقدر الكافي.

نكتب:

\[\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\]

ونقول أنّ \(f(x)\) يؤول إلى \(+\infty\) لمّا \(x\) يؤول إلى \(+\infty\).

لاحظ أنّ البنية هي نفسها بنية تعريف الدرس 1، ولم يتغيّر إلّا شكل المجال:

الحالة شكل المجال المستعمل
نهاية منتهية \(\ell\) مجال مفتوح شامل للعدد \(\ell\)
نهاية \(+\infty\) مجال من الشكل \(]A\,;+\infty[\)

والسبب واضح: لا يوجد «مجال حول \(+\infty\)»، لأنّ \(+\infty\) ليس عددا. فما يقوم مقام «القرب من \(+\infty\)» هو تجاوز عتبة.

انتبه: الرمز \(A\) لا يعني هنا ما كان يعنيه في الدرس 1

في هذا التعريف، \(A\) عتبة على القيم \(f(x)\) (نريد \(f(x) > A\))، بينما كان \(A\) في الدرس 1 عتبة على المتغيّر \(x\).

وهما عتبتان مختلفتان يظهران معا في كلّ برهان. لتفادي الالتباس نعتمد في هذه السلسلة الاصطلاح الآتي:

الرمز العتبة الشرط
\(M\) على القيم \(f(x)\) \(f(x) > M\)
\(A\) على المتغيّر \(x\) من أجل كلّ \(x > A\)

فيصير نصّ العمل: «مهما كانت العتبة \(M\)، يوجد \(A\) بحيث \(x > A \Rightarrow f(x) > M\)».

لماذا «كلّ مجال» هنا أيضا ؟

لو اكتفينا بمجال واحد، مثلا \(]5\,;+\infty[\)، لكان يكفي أن تتجاوز الدالة \(5\) ابتداء من عتبة ما. والدالة الثابتة \(f(x) = 6\) تحقّق ذلك، مع أنّ نهايتها \(6\) لا \(+\infty\) !

الكلمة «كلّ» هي التي تفرض على القيم أن تتجاوز أيّ عتبة، وهي وحدها ما يعطي المعنى الصحيح.

3. التعريف الثاني — النهاية \(-\infty\) عند \(+\infty\)

تعريف

القول أنّ للدالة \(f\) النهاية \(-\infty\) عند \(+\infty\) يعني أنّ كلّ مجال من الشكل \(]-\infty\,;B[\) (مع \(B\) عدد حقيقي) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل كلّ \(x\) كبير بالقدر الكافي.

نكتب:

\[\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty\]

ونقول أنّ \(f(x)\) يؤول إلى \(-\infty\) لمّا \(x\) يؤول إلى \(+\infty\).

تنبيه

نعرّف بطريقة مماثلة النهايتين \(+\infty\) و \(-\infty\) عند \(-\infty\)؛ ويكفي في كلّ مرّة أن نستبدل «من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي» بـ «من أجل \(x\) سالب وكبير بالقدر الكافي في القيمة المطلقة»، أي أن نعمل من أجل \(x < A\) بدل \(x > A\).

جدول التمييز بين التعريفين

هذا الجدول هو ما ينبغي استحضاره قبل الشروع في أيّ برهان:

النهاية شكل المجال ما نطلبه من القيم العتبة على \(x\)
\(\lim\limits_{x\to+\infty} f = +\infty\) \(]M\,;+\infty[\) \(f(x) > M\) يوجد \(A\): من أجل كلّ \(x > A\)
\(\lim\limits_{x\to+\infty} f = -\infty\) \(]-\infty\,;M[\) \(f(x) < M\) يوجد \(A\): من أجل كلّ \(x > A\)
\(\lim\limits_{x\to-\infty} f = +\infty\) \(]M\,;+\infty[\) \(f(x) > M\) يوجد \(A\): من أجل كلّ \(x < A\)
\(\lim\limits_{x\to-\infty} f = -\infty\) \(]-\infty\,;M[\) \(f(x) < M\) يوجد \(A\): من أجل كلّ \(x < A\)

خطأ شائع

استعمال المجال \(]M\,;+\infty[\) للبرهان على نهاية \(-\infty\) خطأ جوهري لا مجرّد سهو في الكتابة: المجال هو الذي يحمل معنى «تتجاوز» أو «تنزل تحت».

4. النهايات المرجعية

هذه النهايات تُستظهر وتُوظَّف مباشرة:

\[\lim_{x\to+\infty}x^{2} = +\infty \qquad \lim_{x\to-\infty}x^{2} = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}x^{3} = +\infty\]
\[\lim_{x\to-\infty}x^{3} = -\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x} = +\infty\]

قراءة موحّدة: دور زوجية الأسّ

الفرق الوحيد بين السطرين هو ما يحدث عند \(-\infty\)، وسببه إشارة القوّة:

  • \(x^{2}\) (وكلّ أسّ زوجي) يُلغي إشارة \(x\)، فالقيم موجبة في الحالتين، والنهاية \(+\infty\) عند \(+\infty\) وعند \(-\infty\)؛
  • \(x^{3}\) (وكلّ أسّ فردي) يحتفظ بإشارة \(x\)، فالقيم سالبة لمّا \(x\) سالب، والنهاية \(-\infty\) عند \(-\infty\).

أمّا \(\sqrt{x}\) فلا يُطرح السؤال في شأنها عند \(-\infty\): مجموعة تعريفها \([0\,;+\infty[\) لا تشمل أيّ قيمة سالبة، فالكتابة \(\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{x}\) بلا معنى.

يُعمَّم ذلك مباشرة على كلّ أسّ طبيعي غير معدوم \(n\):

\[\lim_{x\to+\infty}x^{n} = +\infty \qquad \text{و} \qquad \lim_{x\to-\infty}x^{n} = \begin{cases} +\infty & \text{إذا كان } n \text{ زوجيا} \\[4pt] -\infty & \text{إذا كان } n \text{ فرديا} \end{cases}\]

(البرهان على هاتين النتيجتين موضوع التمرينين 27 و 28.)

5. القراءة الهندسية: لا مقارب أفقي

الربط بالدرس 1

إذا كانت \(\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\) (أو \(-\infty\))، فإنّ منحني \(f\) لا يقبل مستقيما مقاربا أفقيا عند \(+\infty\).

التعليل: وجود مقارب أفقي \(y = \ell\) معناه، بحسب الدرس 1، أنّ النهاية عند \(+\infty\) تساوي العدد الحقيقي \(\ell\). ولا يمكن للنهاية أن تكون منتهية ولانهائية في آن واحد (وهو ما يُبرهن عليه في التمرين 29).

فمنحني \(y = x^{2}\) مثلا يبتعد صعودا بلا حدّ، ولا يستقرّ حول أيّ مستوى أفقي.

6. أمثلة محلولة

مثال 1 — إيجاد عتبة على \(x\)

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x > A\) فإنّ \(x^{2} > 10^{6}\).

الحلّ

نبحث عن قيم \(x\) كبيرة، فنعمل من أجل \(x > 0\)؛ والدالة \(x \mapsto x^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\)، إذن:

\[x^{2} > 10^{6} \iff x > \sqrt{10^{6}} = 10^{3}\]

الخلاصة: العدد \(A = 1000\) يفي بالغرض.

لاحظ العتبتين: \(10^{6}\) عتبة على القيم، و \(1000\) عتبة على المتغيّر.

مثال 2 — الانتباه إلى اتّجاه المتراجحة عند \(-\infty\)

أوجد عددا حقيقيا \(A\) بحيث: إذا كان \(x < A\) فإنّ \(x^{3} < -10^{9}\).

الحلّ

الدالة \(x \mapsto x^{3}\) متزايدة تماما على \(\mathbb{R}\)، إذن:

\[x^{3} < -10^{9} \iff x < \sqrt[3]{-10^{9}} = -1000\]

الخلاصة: العدد \(A = -1000\) يفي بالغرض، والشرط هنا \(x < A\) لا \(x > A\).

تنبيه: الدالة \(x \mapsto x^{3}\) متزايدة تماما، فلا انقلاب في اتّجاه المتراجحة. ما تغيّر هو جهة العتبة على \(x\)، لأنّنا نشتغل عند \(-\infty\).

مثال 3 — مجموعة التعريف أوّلا

عيّن \(\lim\limits_{x\to+\infty} 2\sqrt{x}\)، ثمّ أوجد، من أجل عتبة \(M > 0\)، عددا \(A\) بحيث \(x > A \Rightarrow 2\sqrt{x} > M\).

الحلّ

\(D_f = [0\,;+\infty[\)، والنهاية المطلوبة هي \(+\infty\).

الدالة \(t \mapsto t^{2}\) متزايدة تماما على \([0\,;+\infty[\)، والطرفان موجبان، إذن من أجل \(x > 0\):

\[2\sqrt{x} > M \iff \sqrt{x} > \frac{M}{2} \iff x > \frac{M^{2}}{4}\]

الخلاصة: \(A = \dfrac{M^{2}}{4}\) يفي بالغرض.

مثال 4 — «غير محدودة» لا تعني «نهايتها \(+\infty\)»

لتكن \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R}\) بـ \(f(x) = x\sin^{2}x\). بيّن أنّ \(f\) تأخذ قيما كبيرة بالقدر الذي نريد، ومع ذلك ليست نهايتها \(+\infty\) عند \(+\infty\).

الحلّ

تأخذ قيما كبيرة: من أجل \(x_k = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) (مع \(k\) عدد طبيعي) لدينا \(\sin x_k = 1\)، إذن:

\[f(x_k) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\]

وهذه القيم تتجاوز أيّ عتبة باختيار \(k\) كبيرا بالقدر الكافي. فالدالة غير محدودة من الأعلى.

ومع ذلك ليست نهايتها \(+\infty\): من أجل \(x = k\pi\) لدينا \(\sin(k\pi) = 0\)، إذن:

\[f(k\pi) = 0\]

ولتكن العتبة \(M = 10\). أيّا كانت العتبة \(A\) المقترحة على \(x\)، يوجد دائما عدد من الشكل \(k\pi\) أكبر من \(A\)، وعنده \(f(k\pi) = 0\)، وهي قيمة لا تنتمي إلى \(]10\,;+\infty[\).

إذن لا يوجد أيّ \(A\) يجعل كلّ القيم داخل المجال \(]10\,;+\infty[\)، فالتعريف غير محقّق.

الدرس المستفاد: «غير محدودة من الأعلى» تعني أنّ القيم تتجاوز كلّ عتبة أحيانا؛ أمّا \(\lim = +\infty\) فتعني أنّها تتجاوزها دائما ابتداء من عتبة ما. الفرق بينهما هو الفرق بين «بعض القيم» و«كلّ القيم».

7. المنهجية: كيف نبرهن على نهاية لانهائية بالتعريف ؟

الخطوات الخمس

  1. لتكن \(M\) عتبة حقيقية كيفية على القيم (يمكن الاقتصار على \(M > 0\) في حالة \(+\infty\)، وعلى \(M < 0\) في حالة \(-\infty\)، لأنّ الحالة الأخرى تكون بديهية).
  2. ترجمة الشرط: \(f(x) \in \,]M\,;+\infty[\) يكافئ \(f(x) > M\)  (أو \(f(x) < M\) في حالة \(-\infty\)).
  3. حلّ المتراجحة ذات المجهول \(x\)، مع التصريح بمنحى تغيّر الدالة المستعملة.
  4. إظهار العتبة \(A\) بدلالة \(M\)، مع تحديد جهتها: \(x > A\) عند \(+\infty\)، و \(x < A\) عند \(-\infty\).
  5. الخلاصة اللفظية المطابقة لنصّ التعريف.

الخلاصة ليست تفصيلا

كما في الدرس 1، البرهان الذي يتوقّف عند إيجاد \(A\) دون كتابة الخلاصة يُعدّ ناقصا. الخلاصة هي ما يربط الحساب بالتعريف.

متى تُقصر البرهان على \(M > 0\) ؟

في البرهان على \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x} = +\infty\) مثلا، إذا كانت \(M \leq 0\) فإنّ الشرط \(\sqrt{x} > M\) محقّق من أجل كلّ \(x > 0\) تلقائيا، لأنّ \(\sqrt{x} \geq 0\).

فالحالة الوحيدة التي تستحقّ العمل هي \(M > 0\)، وهذا ما يُصرَّح به في مطلع البرهان بعبارة: «نفترض \(M > 0\)، وإلّا فالنتيجة بديهية».

8. ما يجب أن تتذكّره

المفهوم الصياغة
تعريف \(+\infty\) كلّ مجال من الشكل \(]A\,;+\infty[\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي
تعريف \(-\infty\) كلّ مجال من الشكل \(]-\infty\,;B[\) يشمل كلّ القيم \(f(x)\) من أجل \(x\) كبير بالقدر الكافي
العتبتان \(M\) على القيم، \(A\) على المتغيّر — لا تخلط بينهما
جهة العتبة \(x > A\) عند \(+\infty\)  ·  \(x < A\) عند \(-\infty\)
زوجية الأسّ \(x^{n}\) عند \(-\infty\): \(+\infty\) إذا كان \(n\) زوجيا، \(-\infty\) إذا كان فرديا
المقارب الأفقي نهاية لانهائية \(\Rightarrow\) لا مقارب أفقي
فخّ أساسي غير محدودة \(\neq\) نهايتها \(+\infty\) (المثال \(x\sin^{2}x\))